¿Hay operaciones algebraicas simples para fracciones continuas?

Question

Pensé acerca de la continuación de las fracciones como una buena manera de representar los números, sino también sobre el hecho de que son difíciles de tratar porque algebraicas estándar de operaciones como la suma y la multiplicación no trabajar en ellos de una manera sencilla. Mi pregunta es: ¿existen algunas sencillas y diversas operaciones que tienen un regular el comportamiento con respecto a la forma normal de forma continuada, una fracción? Por ejemplo, ¿existe un simple $\circ$, $?$ o $*$ que satisface

$$ a = [a_0, a_1, a_2 \, ... \, a_n] \\ b = [b_0, b_1, b_2 \, \ldots \, b_n] \\ un \circ b = [a_0 \circ b_0, a_1 \circ b_1, a_2 \circ b_2 \, \ldots \, a_n \circ b_n] $$ o $$ a \,?\, b = [a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2 \, \ldots \, a_n + b_n] $$ o $$ *a = [2 a_0, 2 a_1, 2 a_2 \, \ldots \, 2 a_n] $$

Tenga en cuenta que $ [a_0, a_1, a_2 \, \ldots \, a_n] $ puede representar:

$$ a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{\ddots a_{n-1} + \cfrac{1}{a_n}}}} $$ o $$ a_0 + \cfrac{m_1}{a_1 + \cfrac{m_2}{a_2 + \cfrac{m_3}{\ddots a_{n-1} + \cfrac{m_{n}}{a_n}}}} $$

Answer 1

Este es el reverso de su pregunta; preguntado qué sucede con el valor de la persistencia de una fracción cuyo condiciones se modifican de una manera sencilla, pero también implicaba que estaban interesados en el qué hacer con los términos para efectuar operaciones sencillas en el valor de la fracción.

Existe un algoritmo que, dado un solo siguió fracción $x$, le va a devolver la continuación de la fracción $ax+b\over cd+d$ para cualquier fijo enteros $a,b,c,d$.

Hay un análogo algoritmo que toma cualquiera de las dos fracciones continuas $x$ $y$ y los rendimientos de la continuación de la fracción de $axy+bx+cy+d\over exy+fx+gy+h$ para cualquier fijo enteros $a,\ldots, h$. Por poner $\langle a,\ldots,h\rangle = \langle 1,0,0,0,0,0,0,1\rangle$, el algoritmo calcula la continuación de la fracción de $xy$; poniendo a $\langle a,\ldots,h\rangle = \langle 0,1,1,0,0,0,0,1\rangle$, el algoritmo calcula la continuación de la fracción de $x+y$.

Estos algoritmos fueron descubiertos por primera vez en la década de 1970 por el proyecto de Ley de Gosper. No son demasiado complicados, pero que no son triviales. Explicar en este foro probablemente no sería muy productivo.

Gosper la monografía está disponible aquí.

Tengo algunas diapositivas para una charla sobre el tema que me dio en el Haverford College hace un par de años, y una implementación en C. Yo normalmente no han elegido C de este trabajo, pero yo quería hacer el punto de que el algoritmo no requiere que las características de lujo de lenguaje $X$ cualquier $X$.

Asimismo, recientemente se correspondía con el Arte DuPre de la Universidad de Rutgers, quien, con david Reimer de la Universidad de Nueva Jersey descubierto recientemente algoritmos que tomar una continuación de la fracción de $x$ y se calcula de la continuación de la fracción de $\frac12x$. No sé que estos son publicados todavía, y no he mirado de cerca.

Anexo: eché otro vistazo a la Dupre-Reimer algoritmo. Es un lío. También es acompañado por una prueba, y me imagino que la manera más fácil de probar que no sería mostrar que sintetiza los mismos resultados que la Gosper algoritmo, lo que parece más sencillo.