Homología con coeficientes retorcidos del círculo

Question

$\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}$ $ \newcommand{\p}{\pi_1X} $ $ \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} $ $ \newcommand{\XX}{\tilde{X} } $

Deje $X$ ser una ruta de acceso conectado y localmente ruta de acceso conectado espacio topológico y $\rho:\p\to \Aut(A)$ una representación del grupo fundamental en un grupo abelian $A$. Definimos $$H_k(X;A_\rho),$$ the homology of $X$ with coefficients in $$ twisted by $\rho$, tomando la homología de la cadena de complejos

$$ C_{\bullet}(\tilde{X}) \;\underset{\Z[\p]}\otimes\; A $$

donde:

• $\Z[\p]$ es el anillo de grupo de grupo fundamental

• $\tilde{X}$ es la cobertura universal de $X$

• $C_{\bullet}(\XX)$ es el singular complejo de cadena de $\tilde{X}$, dotado con el derecho natural $\Z[\p]$-módulo de estructura dada por el monodromy acción. Que es: cualquier $g\in \p$ actúa de forma natural en $\XX$ como una baraja de transformación de $g:\XX\to\XX$. Por lo tanto, dado un $k$-simplex $\sigma: \Delta^k\to \XX$ definimos $$ \sigma \cdot g := g\circ\sigma : \Delta^k\to \XX \to \XX $$

• El $\mathbb{Z}[\p]$-módulo de estructura en $A$ está dado por la representación $\rho$.

Estoy tratando de calcular $H_1(X;A_\rho)$ al$X=S^1$$A=\Z_3$, con el giro dado por la representación trivial $\rho:\mathbb{Z}\to \Aut(\Z_3)$, es decir, el mapa dada por $$ \rho(1) = \begin{cases} 0 \mapsto 0 \\ 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 1 \end{cases} $$

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Tengo el geométrica de la imagen de lo que está pasando en mi mente, pero estoy teniendo problemas con el álgebra.

Lo que hice hasta ahora:

El CW estructura de $S^1$ puede ser llevada a $\XX \cong \mathbb{R}$, y se obtiene el celular de la cadena de complejos (como $\Z[\p]$-módulo) $$ 0\to \Z[\p] \to \Z[\p] \to 0, $$ y desde $\Z[\p] \cong \Z[t, t^{-1}]$ el de arriba es $$ 0\to \Z[t, t^{-1}] \to \Z[t, t^{-1}] \to 0. $$ El mapa de límite está dado por la multiplicación por $t-1$.

Necesito ayuda:

No puedo entender lo que sucede con el mapa de límites cuando se aplican a la cadena complejo el functor $$-\;\underset{\Z[\p]}\otimes\;\Z_3$$

Me pueden ayudar con eso, y por lo tanto me da el resultado final de esta desviación de la homología de grupos?

Por otra parte, este puede ser generalizada fácilmente a cualquier grupo abelian $A$ y cualquier representación $\rho:\p\to \Aut(A)$?

Answer 1

Ok, finalmente lo entendí! Así, el celular de la cadena compleja de $\XX$ está dado por $$ 0\longrightarrow \Z[t, t^{-1}] \overset{\delta}\longrightarrow \Z[t, t^{-1}] \longrightarrow 0, $$ donde el mapa de los límites de $\delta$ es simplemente la multiplicación por $t-1$, por motivos geométricos.

El nuevo mapa de los límites de $D:\Z_3\to\Z_3$ que obtenemos afte tensoring con $\Z_3$ $\Z[t,t^{-1}]$ puede ser calculada por mirar la secuencia de mapas $$ \Z_3 \desbordado{\cong}\longrightarrow \Z[t,t^{-1}]\underset{\Z[t,t^{-1}]}\otimes\Z_3 \; \desbordado{\delta\otimes id}\longrightarrow \Z[t,t^{-1}]\underset{\Z[t,t^{-1}]}\otimes\Z_3 \desbordado{\cong}\longrightarrow \Z_3, $$ donde el primer mapa es $a\mapsto 1\otimes a$ y el último mapa es $1\otimes a \mapsto a $. Por supuesto, el punto es que necesitamos reducir a la forma $1\otimes a$ antes de aplicar el último mapa. Por lo tanto, tenemos $$ un \mapsto 1\otimes un \mapsto (t-1)\otimes a = 1 \otimes (ta - a) \mapsto ta - un. $$ Por lo tanto, por un cálculo directo $D$ resulta ser la identidad de $\Z_3$: $$ D(0) = 0, \quad D(1)=t\cdot1 - 1 = 2-1 = 1, \quad D(2)=t\cdot 2 - 2 = 1-2 \equiv 2 \mod 3. $$

Por lo tanto llegamos a la conclusión de que la homología de grupos de $S^1$ con coeficientes en $\Z_3$ retorcido por el trivial $\rho$ son triviales: $$ H_0(S^1\Z_3)_\rho \cong H_1(S^1\Z_3)_\rho \cong 0 $$