¿Cómo determinar si una función es decreciente, constante o creciente (en un intervalo dado) si su función derivada no tiene ceros?

Question

Supongamos que usted tiene una cierta función de $f(x)$ y desea averiguar en que los intervalos de esta función es decreciente, constante o creciente. Sé que tenemos que seguir estos pasos:

1. Averiguar $f'(x)$.
2. Encontrar los valores por los que $f'(x)=0$. En otras palabras, necesitamos encontrar los ceros de $f'(x)$. Supongamos que nos encontramos con dos valores que se $x=a$$x=b$,$a<b$.
3. Ahora tenemos que elegir un valor aleatorio $r$ del intervalo de $(-\infty,a]$ o $(-\infty,a)$ (no recuerdo exactamente) y calcular el $f'(x)$$x=r$.
4. Si $f'(x)<0$$x=r$, $f(x)$ es decreciente en dicho intervalo. Si $f'(x)=0$$x=r$, $f(x)$ es constante en ese intervalo. Si $f'(x)>0$$x=r$, $f(x)$ es creciente en ese intervalo.
5. Tenemos que repetir los pasos 3 y 4 para los otros intervalos.

Ahora, ¿qué sucede si $f'(x)$ no tiene ningún cero? ¿Qué debo hacer?

Ejemplo de un (derivado) de la función que no tiene ningún cero: $e^x/x$.

Gracias de antemano!

Answer 1

Para los tipos de funciones que probablemente se trata de, simplemente se puede expandir tu paso 2 para examinar los puntos donde $f'(x)=0$ o $f'(x)$ es indefinido. Si este conjunto sólo tiene puntos aislados, entonces estos son los únicos puntos donde la derivada se puede cambiar de signo. En el ejemplo que usted da, tenemos $$f'(x) = \frac{e^x }{x}$$ que no está definido en cero. Por lo tanto, es posible que la derivada a cambio de signo de allí y, de hecho, lo hace. Por lo tanto la respuesta correcta es que la función es decreciente en $(-\infty,0)$ y el incremento en $(0,\infty)$. Aquí está una parcela de una posible anti-derivada de esta función:

De posible interés es el hecho de que el no la diferenciabilidad en el origen significa que las dos "ramas" podría ser desplazado en diferentes cantidades. Por lo tanto, otra posible anti-derivada es

Hay otro punto que ha sido glosado por todas las respuestas - es decir, los derivados, aunque no necesariamente continua, satisfacen el valor intermedio de la propiedad. Por lo tanto, si un derivado está definido y no se desvanece en un intervalo, entonces no puede cambiar de signo en el intervalo.

Answer 2

También hay otro tipo de puntos de separación, en el ejemplo dado es $x=0$, donde la función no está definida.

Así, elegir valores arbitrarios $r$ a partir de los intervalos de $(-\infty,0)$, $(0,1)$ y $(1,+\infty)$ ahora.

En caso de que no teníamos más puntos de separación --suponiendo que la función dada es continua (y diferenciable) en todas partes-- (por ejemplo, para $f(x)=e^x$), sólo tendríamos un intervalo, $(-\infty,+\infty)$, y, como $e^0=1>0$, podríamos concluir que $f$ es creciente/decreciente a lo largo de $\Bbb R$.

Answer 3

En el ejemplo que das, tenemos

ps

Entonces la función de la cual lo anterior es la derivada es monótona ascendiendo si$$\frac{e^x}x\begin{cases}>0&\,\;\;x>0\\{}\\<0&,\;\;x<0\end{cases}$ y monótona descendiendo cuando$\,x>0\;$

Lo anterior es todo lo que necesita en general, para una función diferenciable, con el fin de saber dónde es monótona ascendente o descendente. no necesita saber dónde se desvanece la derivada.