Simplifique la función trigonométrica y calcule el límite

Question

Usando el hecho de que$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$, ayúdame a mostrar que

ps

Como no estoy familiarizado con la regla de L'Hôpital y el Teorema de Taylor, evite el uso de cualquiera de los dos en su solución.

Answer 1

También puede terminar la primera expresión de Jared haciendo esto $$ \begin{align} &\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\cos x\sin x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\\ =&\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos^2 x}{\cos x\sin x(1+\cos x)}\\ =&\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin^2 x}{\cos x\sin x(1+\cos x)}\\ =&\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)} \end {align} $$ El límite del denominador es 2 y el límite del numerador es 0.

Answer 2

ps

Answer 3

Si multiplicas la parte superior e inferior por$\cot x$, obtienes:

ps

Usando la serie taylor para el seno y el coseno, tenemos:

ps

después de cancelar un$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\frac{1-\cos x}{\sin x}$ y conectar$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\frac{x^2}{2!}+\ldots}\frac{\frac{x^2}{2!}+\ldots}{x-\frac{x^3}{3!}+\ldots}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\frac{x^2}{2!}+\ldots}\frac{\frac{x}{2!}+\ldots}{1-\frac{x^2}{3!}+\ldots}=0$.

Answer 4

La respuesta es cero, debido a que el numerador es una función impar, cuyos términos lineales cancelar, por lo que se comporta como $a x^3$$x \to 0$, para algunas de las $a$, mientras que el denominador se comporta como $x^2$ en ese límite. El último punto debe quedar claro a partir de su declaración de que $\sin{x}/x$ enfoques $1$$x \to 0$. El primer punto puede ser razonado de la siguiente manera:

$$\sin{x} \sim x + \text{higher-order terms}$$ $$\tan{x} \sim x+ \text{higher-order terms}$$

$\tan{x}-\sin{x}$ es impar. Por lo tanto, no son ni siquiera los términos en una expansión. Por lo tanto, el de menor orden término es $a x^3$ algunos $a$.

ANEXO

También puede utilizar simples identidades trigonométricas, por ejemplo,

$$\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^2{x}} = \frac{\tan{x}}{1+\cos{x}}$$

y claramente, el valor de limitación de la RHS como $x \to 0$ es cero.

Answer 5

¿Conoces los derivados de las funciones trigonométricas? Si es así: primero, escriba$\tan x = \sin x/\cos x$. Luego, simplifique la fracción resultante y multiplique por$1 = \frac{x - 0}{x - 0}$, y use el límite que ya conoce y una interpretación particular de lo que queda por ver que el límite es de hecho$0$. Para comenzar: \begin{align*} \lim_{x\to 0}{\frac{\tan(x)-\sin(x)}{\sin^2x}} &= \lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)/\cos(x)-\sin(x)}{\sin^2x}}\\ &= \lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)-\cos(x)\sin(x)}{\cos(x)\sin^2x}}\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}}\\ &= \lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}}. \end {align *} ¿Puedes tomarlo desde aquí?