Límite de una integral relacionada con la función beta: $\int_0^1 \frac{v^\beta\,dv}{1-z v}\log\frac{1-v z}{1-v}$ .

Question

Considere el siguiente límite: $$ Z(\beta) = \lim_{z\to1-}\int_0^1 \frac{v^\beta\,dv}{1-z v}\log\frac{1-v z}{1-v}. $$ (Esto está relacionado con esta pregunta .)

¿Cuál es la forma cerrada de este límite?

Numéricamente, sospecho que $$ Z(\beta) = \frac{\pi^2}{6}, $$ independientemente de $\beta$ pero no he podido demostrarlo.

Answer 1

Que el límite es independiente de $\beta$ es bastante claro. Consideremos la diferencia de dos integrales de este tipo: $$ I(\beta_2)-I(\beta_1)=\int_0^1\frac{v^{\beta_2}-v^{\beta_1}}{1-zv}\ln\frac{1-zv}{1-v}\,dv\tag{1} $$ El prefactor $\displaystyle\frac{v^{\beta_2}-v^{\beta_1}}{1-zv}$ ya no es singular ya que ponemos $z=1$ , $v\rightarrow1$ . Por lo tanto, para calcular el límite de (1) como $z\rightarrow1$ podemos simplemente establecer $z=1$ en el interior, lo que da $Z(\beta_2)-Z(\beta_1)=0$ .

Ahora basta con calcular la integral para algún valor arbitrario de $\beta$ por ejemplo, para $\beta=0$ . Pero dicha integral puede expresarse en términos de dilogaritmos: $$\int_0^1\frac{1}{1-vz}\ln\frac{1-vz}{1-v}\,dv=\frac{\mathrm{Li}_2(z)}{z}.$$ El límite de la última expresión como $z\rightarrow 1$ es $\mathrm{Li}_2(1)=\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ .