La convergencia casi segura no implica una convergencia completa

Question

Decimos que$X_1, X_2, \ldots$ converge completamente a$X$ si por cada$\epsilon>0$$\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$%.

Con el lema de Borel Cantelli es sencillo demostrar que la convergencia completa implica una convergencia casi segura.

Estoy buscando un ejemplo donde casi seguro la convergencia no puede ser probada con Borel Cantelli. Esto es, una secuencia de variables aleatorias que converge casi seguramente, pero no completamente.

Answer 1

Deje $\Omega=(0,1)$ con el Borel sigma-álgebra $\mathfrak{F}$ y uniforme de medida $\mu$. Definir

$$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$$

y $X_n(\omega)=0$ lo contrario. El$X_n$, obviamente, son medibles en la probabilidad de espacio $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$.

Para cualquier $\omega\in\Omega$ y todos los $N \gt 1/\omega$ es el caso de que $X_n(\omega)=0$. Por lo tanto, por definición, la secuencia de $(X_n)$ converge a $0$ (no sólo casi seguro!).

Sin embargo, siempre que $0 \lt \epsilon \lt 1$, $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$, de dónde

$$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$$

que diverge a $\infty$.