Me acaba de resolver este problema con la probabilidad condicional de la fórmula y después de un rato la respuesta fue sorprendentemente $2/3$.
Yo creo que no debe ser complicado camino más corto para calcularlo.
Puede alguien me ayuda?
Hay $n$ de las urnas de los cuales el $r$th contiene $r-1$ bolas rojas y $n-r$ magenta bolas. Elige una urna al azar y quitar los dos bolas al azar sin reemplazo. Encontrar la probabilidad de que: a la segunda bola es magenta, dado que el primero es el magenta.
La siguiente técnica Es que hay una solución inteligente para este elemental de probabilidad y combinatoria problema? funciona aquí también:
En lugar de $n$ urnas, tiene una urna con $n$ bolas numeradas. Elegir una bola y mantenerla, y la urna, a continuación, tomar distancia, mientras que un ayudante de pinturas de todas las bolas con un número debajo de la suya de color rojo y el resto de magenta. A continuación, elige dos de los más pelotas, y entonces nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de que la última bola fue magenta, dado que el centro de la bola fue.
Un poco de pensamiento debe convencerlo de que todas las pelotas que nunca pick son completamente irrelevantes para el resultado-la única cosa que importa es el número de pedidos entre las tres pelotas que hacer selección.
Así que en lugar de recoger las bolas una por una, se puede comenzar por la selección de un conjunto de tres bolas de ser elegido; a continuación, entre los que seleccionar una secuencia de elegir. Las probabilidades de todo el experimento va a ser el mismo que cuando la recogió las bolas se $\{1,2,3\}$, y podemos analizar que, por el simple listado de caso:
1, 2, 3 -- 2 is magenta, 3 is magenta
1, 3, 2 -- 3 is magenta, 2 is magenta
2, 1, 3 -- 1 is red, case is excluded
2. 3. 1 -- 3 is magenta, 2 is red
3. 1. 2 -- 1 is red, case is excluded
3. 2. 1 -- 2 is red, case is excluded
De los tres casos, donde la primera de las bolas de colores es magenta, dos de ellos tienen la otra bola de color magenta.
Podríamos obtener a través del análisis de casos un poco más rápido si comenzamos por observar que $$P(\text{second ball magenta}\mid\text{first ball magenta})= P(\text{second ball red}\mid\text{first ball red})$$ by symmetry, and then both of these are the same as the (unconditional) probability that the two colored balls have the same color.
The two colored balls have the same color exactly when the ball you pick to determine colors is either the highest numbered between the three balls-to-be-picked or the lowest numbered between the three balls-to-be-picked. And this happens, of course, in $2/3$ de todos los casos.
Imagine una fila de$n$ urnas con una sola bola sin color en cada una de ellas. Una de las urnas se selecciona al azar, y su bola es de color blanco. Las bolas a la izquierda de la bola blanca son de color rojo, y las bolas a la derecha de la bola blanca son de color magenta. Ahora dos urnas más se seleccionan al azar y se inspecciona su contenido. Con la probabilidad${1\over3}$, la bola blanca es la mitad de las tres, por lo tanto, con la probabilidad${2\over3}$ el contenido de las otras dos urnas son del mismo color.
La probabilidad de que la primera bola sea magenta es$\frac12$, ya que por simetría, la mitad de las bolas son magenta y es igualmente probable que sean elegidas. Podría expresarse como$\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{r-1}{n-1}\times \frac1n = \frac{r(r-1)/2}{n(n-1)}=\frac12$
De manera similar, la probabilidad de que la primera y la segunda bola sean magenta es$\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{r-1}{n-1}\times\frac{r-2}{n-2}\times \frac1n = \frac{r(r-1)(r-2)/3}{n(n-1)(n-2)} = \frac13$
Entonces, la probabilidad condicional de que la segunda bola sea magenta dado que la primera es magenta es$\dfrac{1/3}{1/2} = \dfrac23$
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