En primer lugar, piense acerca de estas propiedades del número cero. Deje $r$ ser cualquier número real positivo, entonces...
$0 < r$
$0 > -r$
$0 \cdot r = 0$
$0 + r = r$
Usted puede pensar de infinitesimals como "cero-como los números". Deje $r$ ser cualquier número real positivo. Entonces si $\epsilon$ es un infinitesimal, tiene estas propiedades:
$\epsilon < r$
$\epsilon > -r$
$\epsilon \cdot r$ es un infinitesimal
$\epsilon + r$ es "infinitamente cerca" para el número real r
Son útiles en el cálculo por muchas razones, pero la principal razón por la que alguien, en Cálculo 1 se aprecia es que se simplifique sus derivados. La definición tradicional de la derivada es que $f'(x) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, lo que debemos hacer, porque simplemente conectando $h = 0$ como lo haría normalmente para "resolver el" límite de los rendimientos de los indefinidos expresión algebraica $\frac{0}{0}$.
Infinitesimalmente, definimos $f'(x) = ($ "el número real infinitamente cercana a" $\frac{f(x+\epsilon) - f(x)}{\epsilon})$. Esta definición evita tener que hacer complicadas límite de argumentos y le permite centrarse en el álgebra de la situación.
Otro buen ejemplo donde infinitesimals simplificar el cálculo es la definición de continutiy. Generalmente, se define una función de $f$ ser continua en $a$ si y sólo si $lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$ que se explica por la definición de límite a $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta$ implica $|f(x) - f(a)| < \epsilon$. Es decir, la definición precisa de dos cuantificadores universal ("para todos") y existencial ("no existe").
El infinitesimal definición de continua es mucho más fácil de entender: "si $x$ es infinitamente cercana a $a$, $f(x)$ es infinitamente cercana a $f(a)$".
La dificultad en el uso de infinitesimals no es necesariamente la comprensión de sus propiedades, como es la dificultad en la CONSTRUCCIÓN de ellos. La comprensión de cómo "infinitamente cerca" funciona de manera similar no es muy difícil para las funciones de primer curso de cálculo. Afortunadamente, por lo general, no se preocupe acerca de la construcción de los números reales en la introducción del curso de cálculo, por lo que deben ser razonables para el uso de infinitesimals en una manera similar!
