Permita que$f\colon\Bbb R\to \Bbb R-\{3\}$ sea una función tal que exista$T>0$ con$f(x+T)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}$ para cada$x\in\Bbb R$.

Question

Permita que$f\colon \Bbb R\to \Bbb R-\{3\}$ sea una función con la propiedad de que existe$T>0$ tal que$f(x+T)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3}$ para cada$x\in \Bbb R$. Demuestre que$f(x)$ es periódico y encuentre el período de$f(x)$.

Para que$f(x)$ sea periódico, debemos probar$f(x+\lambda)=f(x)$, donde$\lambda$ es el período fundamental de$f(x)$. Pero parece que no hay un camino para probar esto en la definición dada de la función. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Sugerencia: busque expresiones del formulario$f(x+kT)=\frac{a_kx+b_k}{c_kx+d_k}$, para$k=0$ (trivial),$k=1$ (otorgado),$k=2$,$k=3$, y así sucesivamente. Te sorprenderás (lo suficientemente pronto).

Answer 2

Bueno, parece que he encontrado algo$$ f(x)=\frac{f(x)-5}{f(x)-3} $ $ replace$ x \rightarrow x+T $ para obtener $$ f (x +2T) = \ frac {2f (x) -5} {f (x) -2} $$ ahora una vez más reemplaza$ x \rightarrow x+2T $ para obtener$$ f(x+4T)=f(x)$ $