Integración la UE

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral: $$I=\int \frac{dx}{x^2+x+1}$$

No debo hacerlo con números complejos, así que es un poco duro. He comprobado la respuesta en WolframAlpha.

Da $$I=\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}\right)}+C $$

Contar con esta información he encontrado que necesitas

$$t=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}$$

por lo tanto: $x^2+x+1=\frac{3}{4}(t^2+1)$ $dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dt$

por lo tanto: $$I=\frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{t^2+1}$$ which can be found easily by setting $t=\bronceado{\theta}$ dando la misma respuesta se indicó anteriormente.

Prácticamente, me engaño: si no conocía la respuesta final no habría adivinado lo que yo necesitaba para establecer como $t$.

Mi pregunta es: ¿cómo debo pensar en el fin de encontrar esta integral?

Hay un método para encontrar las integrales de la forma $$\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}$$

Sin saber la respuesta, ¿cómo puedo resolver este tipo de integrales?

Gracias

Answer 1

Sugerencia :$x^2+x + 1 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

Answer 2

No es tan difícil: \begin{align*}\int\frac1{x^2+x+1}dx&=\int\frac1{(x+1/2)^2+3/4}dx=\frac43\int\frac1{(ax+b)^2+1}dx\\&=\frac43\int\frac1{y^2+1}\cdot\frac1ady=\frac4{3a}\arctan y,\end {align *} donde$y= ax+b$. Ahora calcule$a,b$ y sustituya de nuevo para obtener el resultado.

El método general es$\int\frac1{(ax+b)^2}=-\frac1a\frac1{ax+b}$ si el denominador es un cuadrado, fracciones parciales si tiene dos raíces reales y completa el cuadrado y usa$\arctan$ de lo contrario.

Answer 3

El objetivo de completar el cuadrado es siempre reducir un problema que involucra un polinomio cuadrático con un término lineal a un problema que involucra un polinomio cuadrático sin término lineal .

$$ \ overbrace {\ int \ frac {dx} {x ^ 2 + x +1} = \ int \ frac {dx} {(x ^ 2 + x + \ frac 1 4) + \ frac 3 4}} ^ { \ text {completar el cuadrado}} = \ int \ frac {dx} {(x + \ frac 1 2) ^ 2 + \ frac 3 4} = \ int \ frac {du} {u ^ 2 + \ frac 3 4} $$ etc.

Answer 4

Respondiendo tu segunda pregunta.

Desde entonces

ps

Y el siguiente paso dependerá del signo de$ax^2 + bx+c = a\Bigg[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\Bigg] = a\Bigg[(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \Bigg]$.