$SU(n)$ denota la especial grupo unitario. Sé que su dimensión debe ser $n^2-1$. Sin embargo, estoy tratando de probar y obtener un mal resultado. No tengo idea de lo que está mal con mi prueba. Por lo tanto, me pregunto si alguien podría señalar el error. Gracias! La siguiente es mi prueba.
Yo consder el determinante de la función de $\det:U(n)\to\mathbb{C}$ donde $U(n)$ denota el grupo unitario. $\det$ debe ser una Mentira grupo homomorphism. Por lo tanto, es un buen mapa con constante de rango. A continuación, $SU(n)=\det^{-1}(1)$, lo que en realidad muestra que $SU(n)$ es un integrado Mentira subgrupo de $U(n)$.
Ya he sabido que $U(n)$ $n^2$- dimensional. Basta con averiguar el rango de $\det$, desde el codimension de $SU(n)$ es el rango de $\det$.
Basta comprobar la clasificación en$I_n$, lo que denota la matriz identidad, ya que $\det$ tiene un rango constante. Pick $B\in T_{I_n}U(n)=M(n,\mathbb{C})$ donde $M(n,\mathbb{C})$ denota el conjunto de todas las matrices cuyas entradas son complejas.
Por lo tanto, el diferencial de $\det$ es un mapa de $d(\det)_{I_n}:M(n,\mathbb{c})\to\mathbb{C}$. Considere la curva $$\gamma(t)=I_n+tB$$. Clearly, $\gamma'(0)=B$, $\gamma(0)=I_n$.
Entonces, calculo \begin{align*} d(\det)_{I_n}(B) &=(\det\circ\gamma)'(0)\\ &=\frac{d}{dt}|_{t=0}\det(I_n+tB)\\ &=tr(B) \end{align*}
Ahora, creo que se puede demostrar la imagen de$d(\det)_{I_n}$$\mathbb{C}$, ya que dado cualquier $c\in\mathbb{C}$ me tome la matriz$B$$\frac{c}{n}I_n$.
Por lo tanto, creo que el rango de $\det$ es 2, que es la dimensión de la $\mathbb{C}$. Por tanto, concluyo que la dimensión de $SU(n)$$n^2-2$.
Sé que debe de hacer un tonto error. Podría alguien punto? Muchas gracias!
