Noción de forzamiento del producto.

Question

¿Alguien puede explicar por qué, bajo ciertas condiciones, un producto forzando$\mathbb P \times \mathbb Q$ satisface ccc. propiedad.

A saber, si$\mathbb P$ y$\mathbb Q$ son dos forzamientos y si se cumple lo siguiente:

$\mathbb P$ es ccc. y$1_{\mathbb P}\Vdash_{\mathbb P}$ "$\overset {\vee} {\mathbb Q}$ es ccc".

entonces$\mathbb P \times \mathbb Q$ es ccc.

Aquí$\overset {\vee} {\mathbb Q}$ es solo el nombre canónico.

Answer 1

Supongamos, hacia una contradicción, que tenía una $\omega_1$-secuencia de pares de elementos incompatibles $(p_\alpha,q_\alpha)$$\mathbb P\times\mathbb Q$. Observe que $$ A=\{(p_\alpha,\verificación q_\alpha):\alpha<\omega_1\} $$ es una $\mathbb P$-nombre para un subconjunto de a $\check{\mathbb Q}$.

Yo reclamo que cada una de las condiciones en $\mathbb P$ fuerzas "$A$ es un antichain en $\check{\mathbb Q}$"; más precisamente, "Si $q_\alpha$ $q_\beta$ están en $A$$\alpha\neq\beta$, son incompatibles". (Estrictamente hablando, los subíndices en $q$ debe $\check\alpha$$\check\beta$, pero soy demasiado vago para eso.) Para ver esto, supongamos que no. Así que de alguna condición $z\in\mathbb P$ debe forzar "$\check q$ compatible con $\check q'$" para algunos elementos distintos $q,q'\in\mathbb Q$ (más precisamente, distintos subíndices en la enumeración de las $q_\alpha$'s). Utilizando la definición de cómo pertenencia declaraciones son obligados, tenemos una extensión de $z$ que también se extiende $p_\alpha$ algunos $\alpha$ tal que $q=q_\alpha$, y luego llegamos a una mayor extensión de la que también se extiende $p_\beta$ algunos $\beta$ tal que $q'=q_\beta$. Por lo $p_\alpha$ $p_\beta$ son compatibles. Desde $(p_\alpha,q_\alpha)$ $(p_\beta,q_\beta)$ son incompatibles en $\mathbb P\times\mathbb Q$, se deduce que el $q_\alpha$ $q_\beta$ son incompatibles en $\mathbb Q$. Por lo tanto, tenemos una extensión de $z$ forzar " a $q$ $q'$ son incompatibles," contrario a nuestra selección de $z$. Esta contradicción completa la prueba de la afirmación de que $A$ es un antichain en el forzamiento de la extensión.

Desde $\mathbb P$ fuerzas que $\check{\mathbb Q}$ es de la ccc, se debe también la fuerza que $A$ es contable. Además, dado que es obvio que es forzoso que $A\subseteq\{q_\alpha:\alpha<\check\omega_1\}$, y desde $\omega_1$ es absoluta para $\mathbb P$-forzando gracias a la ccc para $\mathbb P$, llegamos a la conclusión de que $\mathbb P$ fuerzas de $(\exists\gamma<\check\omega_1)(\forall\alpha<\omega_1)\,(q_\alpha\in A\implies\alpha<\gamma)$. Elegir un máximo de antichain $B\subseteq\mathbb P$ de las condiciones de $p$ decidir particular, los valores de $\check\gamma_p$ para los más pequeños, tales $\gamma$. Debido a $\mathbb P$ es de la ccc, $B$ es contable, por lo que podemos arreglar una contables ordinal $\delta$ mayor que todos los de la $\gamma_p$$p\in B$.

Por maximality de $B$, $p_\delta$ es compatible con algunos $p\in B$. Pero $p_\delta$ $p$ de la fuerza de declaraciones contradictorias: $p_\delta$ fuerzas de $\check q_\delta\in A$, por definición de $A$, mientras que el $p$ fuerzas que siempre $\check q_\alpha\in A$$\alpha<\gamma_p<\delta$. Esta contradicción completa la prueba de que $\mathbb P\times\mathbb Q$ no $\omega_1$-secuencia de pares de elementos incompatibles.

EDIT: creo que no fue lo suficientemente cuidadoso acerca de la posibilidad de que $q_\alpha=q_\beta$, incluso cuando se $\alpha\neq\beta$, así que permítanme señalar lo siguiente. Considerar la (posiblemente muchos) $\alpha$'s para que $q_\alpha$ tiene algún valor particular $q$. El correspondiente $p_\alpha$'s tiene que ser incompatible en $\mathbb P$ debido a que los pares correspondientes a $(p_\alpha,q_\alpha)$ son incompatibles en $\mathbb P\times\mathbb Q$. Por el ccc para $\mathbb P$, sólo puede haber countably muchos de esos $\alpha$'s. En otras palabras, el problema que yo no era lo suficientemente cuidadoso acerca de las causas sólo contables problemas de tamaño. Con esta observación, lo que escribí ayer debería funcionar sin más problemas.