Evaluar

Question

Primero completé el cuadrado:

ps

Realizó la sustitución$$\int_0^1 \frac1 {2+(x+1)^2}\,\mathrm dx$. Por lo tanto,$x+1=\sqrt2 \tan u$ sustituye esto y cambia los límites (comprueba que he hecho esto bien). $dx=\sqrt2\sec^2udu$ $ después de usar la identidad$$\frac{\sqrt2}{2}\int_{\tan^{-1}\frac1{\sqrt2}}^{\tan^{-1}\frac2{\sqrt2}}\,\mathrm du$ y factorizar las constantes. Claramente, esto lleva a un resultado horrible con muchos decimales. Como esto se debe hacer sin una calculadora, sospecho que he hecho algo mal. Por favor ayuda.

Answer 1

No entiendo a qué te refieres con horrible resultado

Al proceder con su solución o al evaluar una integral indefinida y luego aplicar límites obtenemos

ps

ps

Puede simplificar esto a$$\int \frac1 {2+(x+1)^2}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)$ $

Pero todavía será un resultado horrible

Answer 2

establecemos$x+1=t$ y obtenemos$dx=dt$ y nuestra integral será$\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2+1}$ y después de$dt=\sqrt{2}du$ obtenemos$$\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{2}du}{u^2+1}$ $