Muestre que para un campo escalar la siguiente relación es verdadera

Question

El FLRW de la línea es el elemento $ds^2=dt^2 -a^2(t)[(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2]$. Para una homogénea escalar campo $\psi$ muestran que $$g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu} \psi = \ddot{\psi} + 3\frac{\dot{a}}{a}\dot{\psi}$$

El punto indica un tiempo de derivados, el convenio de sumación de Einstein se aplica. Creo que estoy cerca de conseguirlo, pero voy mal en algún lugar! Esto es lo que he intentado:

Expanda la segunda derivada covariante $$g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu} \psi = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}(\partial_{\nu}\psi)$$ $$=g^{\mu\nu}(\partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi-\partial_{\sigma}\psi\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu})$$ $$=g^{\mu\nu} \partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi - g^{\mu\nu}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\partial_{\sigma}\psi$$ Homogénea significa $\psi$ es una función de $t$ solamente, y por lo tanto para el primer período distinto de cero sub en $\mu=\nu=0$. Porque son ficticios índices eso no significa que yo también tengo que llevarlos a cero en el segundo término. $$=g^{00}\frac{\partial ^2\psi}{\partial t^2} - g^{\mu\nu}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\partial_{\sigma}\psi$$ A partir de la línea de elemento, $g^{00}=1$. Ahora en el segundo término, me puede escribir el símbolo de Christoffel: $$g^{\mu\nu}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}g^{\sigma\epsilon}g^{\mu\nu}\left(\frac{\partial g_{\mu\epsilon}}{\partial x^{\nu}}+\frac{\partial g_{\nu\epsilon}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\epsilon}}\right)$$ Contrato con la métrica: $$\color{red}{\frac{1}{2}g^{\sigma\epsilon}\left(\frac{\partial g^{\nu}_{\epsilon}}{\partial x^{\nu}}+\frac{\partial g^{\mu}_{\epsilon}}{\partial x^{\mu}} - 0\right)}$$ Debido a que el último término es de uno o cero, por lo que la derivada es siempre cero. Contrato de nuevo: $$\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g^{\sigma\nu}}{\partial x^{\nu}}+\frac{\partial g^{\sigma\mu}}{\partial x^{\mu}}\right)$$ Re-etiquetar las maquetas de índice y obtener $$g^{\mu\nu}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}=\frac{\partial g^{\sigma\nu}}{\partial x^{\nu}}$$ Si me sustituir en la ecuación original, $$\frac{\partial ^2\psi}{\partial t^2} - g^{\mu\nu}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\partial_{\sigma}\psi = \frac{\partial ^2\psi}{\partial t^2} - \frac{\partial g^{\sigma\nu}}{\partial x^{\nu}}\partial_{\sigma}\psi$$ Mirar que llego a la conclusión de que sólo $\sigma = 0$ en el segundo término no es cero, porque yo tendría $\partial_{\sigma}\psi$ que es cero, a menos que el derivado con respecto a $t$. Pero la métrica es diagonal para tener $g^{0\nu}$ significaría que yo no puede tener nunca la $a^2$ plazo, y no tengo la $\dot{a}/a$ que necesito. Donde he ido mal?

Answer 1

El error es que elevaron los índices de la métrica que va a través de un derivado, es decir, que se llevó $g^{\mu\beta}\frac{d}{dx^\alpha}[g_{\beta\nu}] = \frac{d}{dx^\alpha}[g^{\mu}_{\nu}]$ que es mala. En lugar de tener $\frac{d}{dx^\alpha}[g^{\mu}_{\nu}] = g^{\mu\beta}\frac{d}{dx^\alpha}[g_{\beta\nu}] + g_{\beta\nu}\frac{d}{dx^\alpha}[g^{\mu\beta}]$ por el producto de la regla de diferenciación.

Para calcular los símbolos de Christoffel en cuenta que desde el $g$ sólo depende del tiempo que necesitamos $\nu = 0$ a fin de $\frac{dg^{\alpha\beta}}{dx^\nu}$ a ser distinto de cero. También desde $g$ es la diagonal necesitamos $\mu=\nu$ a fin de $g_{\mu\nu}$ a ser distinto de cero. Esto lleva a que los dos primeros términos de la expresión de los símbolos de Christoffel a desaparecer (por ejemplo, la no-cero términos en $g^{\sigma\epsilon}g^{\mu\nu}\frac{dg_{\mu\epsilon}}{dx^\nu}$ han $\nu=0$ (derivado) y, a continuación, $\mu = 0$ ( $g^{\mu\nu}$ ) y, a continuación,$\epsilon = 0$ ($g_{\mu\epsilon}$) lo que nos deja con $g^{0\sigma}g^{00}\frac{dg_{00}}{dt} = 0$ desde $g_{00}$ no depende del tiempo) y nos quedamos con

$$g^{\mu\nu}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = -\frac{1}{2}g^{\sigma0}g^{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{0}} = -\frac{1}{2}g^{\sigma 0}\cdot 3\cdot (-a^{-2})\cdot \frac{d}{dt}(-a^2) = -3g^{\sigma 0}\frac{\dot{a}}{a}$$

ya que sólo el 3 términos con $\mu=\nu=1,2,3$ da un valor distinto de cero aporte. Esto conduce a la expresión correcta para el d'Alembertian de $\psi$.