La proporción de dos$L^p$ de normas

Question

Permita que$f$ sea una función no negativa en un espacio de medida$(X,\mu)$ con$\mu(X) = 1$. ¿Hay una caracterización conocida de cuándo

ps

para $$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\|f^n\|_p}{\|f^n\|_q } = 1,$? Dado que$1 \leq p < q \leq \infty$ es una medida de probabilidad, sabemos que este límite siempre es menor que 1, pero estoy tratando de caracterizar (en términos de$\mu$ y$p$) las funciones tales que el límite de hecho es precisamente 1.

Answer 1

En primer lugar, por la cuestión de encontrarle sentido debemos tener $f\in L^r(X,\mu)$$p\le r<\infty$. Si, como Didier sugiere en su comentario, $f\in L^\infty(X,\mu)$, luego $$ \frac{\|f^n\|_p}{\|f^n\|_q}=\left(\frac{\|f\|_{pn}}{\|f\|_{cn}}\right)^n. $$ Desde $\lim_{r\to\infty}\|f\|_r=\|f\|_\infty$, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\|f\|_{pn}}{\|f\|_{cn}}=1. $$ Pero esto no determina el límite deseado.

Considere la posibilidad de $f(x)=\chi_A(x)$, la función característica de un subconjunto medible $A\subset X$$\mu(A)>0$. Entonces $$ \frac{\|f^n\|_p}{\|f^n\|_q}=(\mu(A))^{1/p-1/p}, $$ que puede ser cualquier número en $(0,1]$. Como otro ejemplo, si $X=[0,1]$ con medida de Lebesgue y $f(x)=x^\alpha$, $\alpha>0$, entonces $$ \frac{\|f^n\|_p}{\|f^n\|_q}=\frac{(n\,\alpha\,q+1)^{1/p}}{(n\,\alpha\,p+1)^{1/p}}\to0. $$ Mi conjetura de que para delimitada $f$, el límite es de uno si y sólo si $f$ es constante en casi todas partes.