¿Podemos determinar si un número complejo es mayor que otro?

Question

¿Es posible determinar si un número complejo es mayor que otro? O como la pregunta implica, ¿hay un "orden" para los números complejos (como el 1 está antes del 2 en los números reales)?

Pensé que simplemente podría utilizar el módulo para determinar si un número complejo es mayor que otro, aunque creo que esta no puede ser la única manera de utilizarlo (qué pasa si 2 números complejos tienen el mismo módulo y son bastante diferentes). Así que pensé, si el punto está en el cuadrante superior derecho del plano complejo, entonces ambas partes, la real y la imaginaria, son positivas, por lo que sería mayor que cualquier otro número complejo en un cuadrante diferente del plano complejo (se podría decir qué pasa con el módulo, pero en los reales $1>-2$ aunque $|-2|>|1|$ ). ¿Pero qué pasa si un número complejo tiene un real positivo y un imaginario negativo y otro tiene un real negativo y un imaginario positivo? (Y por el bien de los argumentos ambos tienen el mismo módulo)

Si no podemos determinar por qué no? En los números reales parece (para mí), dejar de ser trivial a un nivel básico para determinar si un real es mayor que otro, por ejemplo. $2>1$ . ¿Cómo se llama esta propiedad de los números? ¿Por qué los números complejos no exhiben esta propiedad (si es que no lo hacen)?

Answer 1

Es posible ordenar los números complejos. Por ejemplo, se podría definir $x_1+iy_1<x_2+iy_2$ si $x_1<x_2$ o si $x_1=x_2$ y $y_1<y_2$ .

Sin embargo, es imposible definir un orden total en los números complejos de tal manera que se convierta en un campo ordenado. Esto se debe a que en un campo ordenado el cuadrado de cualquier número distinto de cero es $>0$ . Por lo tanto, tendríamos $-1=i^2>0$ y añadiendo $1$ a ambas partes implicaría $0>1=1^2$ , lo cual es una contradicción.

Answer 2

No hay un orden total en $\mathbb{C}$ compatible con la orden sobre $\mathbb{R}$ y compatible con las operaciones algebraicas. Supongamos que existe tal orden, entonces $i>0$ o $i<0$ . Si $i>0$ y multiplicando por $i$ conseguimos que $-1=i^2>0$ que es imposible. Si $i<0$ y multiplicando por $i$ invierte la desigualdad, y así obtenemos que $-1=i^2>0$ . Ambos conducen a contradicciones.

Answer 3

El campo $\mathbb{C}$ sólo tiene un orden total compatible con la adición. No tiene un orden total compatible con la multiplicación, lo que le impide ser un campo ordenado. Por último, su topología habitual no puede ser generada por ningún orden total.

Answer 4

Si $i>0$ entonces $i^2>0 \Rightarrow -1>0$ que es una contradicción.
Si $i=0$ entonces $i^2=0 \Rightarrow -1=0$ que es una contradicción.
Si $i<0$ entonces $i^2>0 \Rightarrow -1>0$ que es una contradicción.

Así, $ib$ no es ni mayor ni igual ni menor que $0$ .

Así que cualquier número complejo $a+ib$ , ( $a,b \in \mathbb{R}$ ) no es ni mayor ni igual ni menor que $a$ .
Y el razonamiento es el siguiente.