Producto cartesiano de grupos acotados finitos

Question

Deje que$G$ sea el producto cartesiano de muchos grupos finitos contables$H_\alpha$,$\alpha\in \omega$. Supongamos también que existe un$ n\in\mathbb N$ tal que$|H_\alpha|\leq n,\, \forall \alpha\in \omega$. ¿Es$G$ localmente finito? ¿Hay alguna manera fácil de probarlo?

Notación

Se dice que un grupo$G$ es finito localmente si cada subgrupo generado finitamente es finito.

Answer 1

Yo así lo creo. El isomorfismo tipo de $G$ no cambia si se sustituye un grupo de $H_\alpha$ por un grupo isomorfo, por lo que podemos reemplazar cada una de las $H_\alpha$ por un canónica copia para su isomorfismo tipo, y por lo tanto asumir que $H_\alpha = H_\beta$ siempre $H_\alpha \cong H_\beta$. Así, desde cada una de las $|H_\alpha| \le n$, hay sólo un número finito $H_\alpha$ que se producen.

Deje $K$ $G$ ser un subgrupo generado por a $g_1,\ldots,g_n$, con proyecciones de $g_{i\alpha} \in H_\alpha$ en la de componentes. A continuación, hay sólo un número finito de distintas posibilidades para la $(n+1)$-tupla $(H_\alpha,g_{1\alpha},\ldots,g_{n\alpha})$.

Supongamos que estas un número finito de distintas proyecciones se producen en $\alpha = \alpha_1,\ldots,\alpha_m$. A continuación, $K$ es un subgrupo del producto directo de la $m$ grupos finitos $K_1,\ldots,K_m$ donde $K_i := \langle g_{1\alpha_i},\ldots g_{n\alpha_i} \rangle$, lo $K$ es finito.

Answer 2

Solo hay finitos grupos de orden como máximo$n$, deje$H$ ser el producto directo de todos estos, entonces$H$ sigue siendo finito y tenemos incrustaciones$H_\alpha\hookrightarrow H$ para todas $\alpha\in\omega$. Deje$X = \prod_{\alpha\in\omega} H$, luego$G\hookrightarrow X$, por lo que basta con mostrar que$X$ es localmente finito.

Por lo tanto, hemos reducido el reclamo al caso especial de que$H_\alpha$ sea el mismo grupo finito.

Déjeme saber si esto ayuda.