GCD en una subring es GCD en un anillo más grande

Question

Permita que$R$ sea un UFD que es un subnivel de un dominio integral$S$. Si$r_1$ y$r_2$ son dos elementos distintos de cero de$R$ con GCD$d$, ¿es cierto que$d$ también es un GCD de$r_1$ y $r_2$ en$S$?

Sé que esto es verdad si$R$ es un PID.

Answer 1

Advertencia: se debe especificar el sub-anillo (que puede ser el todo el anillo) en relación a que la divisibilidad es definido.

Supongamos que $R$ es un sub-anillo de un integrante del dominio $S$, y vamos a $R^*$, $S^*$ denotar los conjuntos de cero elementos de $R$ resp. $S$. $\newcommand{\divides}{\mid}$ Decimos que $s\in S^*$ divide $s'\in S^*$ relativo$R$, y escribir $s\divides_R s'$, si no existe $r\in R^*$ tal que $sr=s'$. Si $s,s'\in S^*$, $s\divides_R s'$ $s'\divides_R s$ si y sólo si $s'=su$ para algunos de una unidad de$u$$R$; escribimos esto (equivalencia) relación como $s\sim_R s'$. $\newcommand{\set}[1]{{\{#1\}}}$ Para cualquier $s_1,s_2\in S^*$ denotamos por $\gcd_R(s_1,s_2)$ un mayor límite inferior (si existe) de $\set{s_1,s_2}$ en el conjunto preordenado $(S^*,{\divides_R})$; $\gcd_R(s_1,s_2)$ se determina sólo hasta un factor en $R^\times$, el grupo de unidades de $R$.

Si la divisibilidad en su pregunta significa que la divisibilidad en relación a todo el anillo, tanto para$R$$S$, entonces la respuesta es no. $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ Por ejemplo, supongamos $R=\ZZ$$S=\QQ$. A continuación, $\gcd_\ZZ(4,6)\sim_\ZZ 2\nsim_\ZZ 1$ $(\ZZ,{\divides_\ZZ})$ y $\gcd_\QQ(4,6)\sim_\QQ 1$$(\QQ,{\divides_\QQ})$; pero tenemos $\gcd_\ZZ(4,6)\sim_\ZZ 2\nsim_\ZZ 1$$(\QQ,{\divides_\ZZ})$. (Añadido el próximo día: en realidad esto no es un contraejemplo -- se a continuación).

Si la divisibilidad en su pregunta es relativa a $R$, en $R$$S$, entonces la respuesta es sí. Este hecho es el mejor resultó en un contexto más general de MCD monoids, desde la estructura aditiva de los anillos es irrelevante para su pregunta - en realidad es una molestia, siempre bajo nuestras piernas cuando no queremos ni necesitamos. Voy a dar la prueba de mañana.

Continuaron. $~$WHOA! Me dio un no-contraejemplo, ya que también se $\gcd(4,6)_\QQ\sim_\QQ 2$ porque $2\sim_\QQ 1$$(\QQ,{\divides_\QQ})$. Tal es la vida de un matemático: hacer matemáticas estoy perdiendo mucho tiempo embarcando en callejones sin salida y, a continuación, salir de ellos, y parte del tiempo soy cometer errores, algunos de ellos increíblemente estúpido. Voy a dejar que el error de la estancia, tiene un valor didáctico.

Ahora déjame ver si entiendo tu pregunta. Tenemos una UFD $R$ que es un sub-anillo de un integrante del dominio $S$. Si $r_1$, $r_2$ cualquier valor distinto de cero elementos de $R$ con un MCD $d$ relativamente a$R$, entonces la pregunta es si $d$ también es un MCD de a $r_1,r_2\in S$ relativamente a$S$. Estoy en lo cierto? Es esta la pregunta? Supongamos que es.

En la UFD $R$ cada par de elementos tiene un MCD (incluso cuando uno de ellos, o ambos, son cero, ya que $\gcd_R(r,0)=r$ por cada $r\in R$), es decir, $R$ es un MCD de dominio. No se dice nada acerca de la existencia de GCDs para todos los pares de elementos de $S$; sin embargo, no se pregunta esto, sólo consultas si alguno de los dos a cero los elementos de $r_1,r_2\in R\subseteq S$, que sabemos que tienen un MCD $d$$R$, tienen este mismo $d$ como un MCD en $S$. Esto es cierto si $R$ es un PID, en este caso, $d=r_1r_1'+r_2r_2'$ algunos $r_1',r_2'\in R$; si $c\in S$ es un divisor común de $r_1$, $r_2$ en $S$, a continuación, $r_1=cs_1$ $r_2=cs_2$ algunos $s_1,s_2\in S$, por lo tanto $d=c(s_1r_1'+s_2r_2')$, lo que muestra que $c$ divide $d$$S$. La estructura aditiva de los anillos tiene
un papel en este caso.

Aquí viene un verdadero contraejemplo para un $R$ que es sólo una UFD, no un PID. Vamos $X$, $Y$, $Z$ ser formal de las variables, y considerar los anillos $R:=\ZZ[X,Y]$$S:=\ZZ[X,Y,Z,XZ^{-1},YZ^{-1}]$;
$R$ es un UFD, $S$ es una parte integral de dominio porque es un sub-anillo del campo $\QQ(X,Y,Z)$, y $R$ es un sub-anillo de $S$. Tenemos $\gcd_R(X,Y)\sim_R 1$. Los elementos $X$ $Y$ de el anillo de $S$ tienen un divisor común $Z$$S$; pero $Z$ no divide $1$$S$, lo $1$ es no un MCD de a$X$$Y$$S$. En este punto es evidente, ya que tenemos un contraejemplo, pero pedimos una pregunta relacionada: ¿$X$$Y$ tienen un MCD en $S$? En principio, podría ocurrir que $\gcd_S(X,Y)$ no existiría; pero en nuestro caso $\gcd_S(X,Y)$ existe y es igual a (que es, es $\sim_S$) $Z$ (usted puede disfrutar de probar esto).

Ja! Tenemos una fuerte pregunta: ¿existe una UFD $R$ y un integrante de dominio $S$ contiene $R$ como un sub-anillo, de tal manera que no son cero $r_1$, $r_2$ en $R$ que no tienen un MCD en $S$ (esta DPC se entiende relativamente a $S$)? Ahora mismo no puedo ver cómo iba a construir un ejemplo.

El prometido de la prueba en el contexto de la DPC monoids: esta prueba, responde a una pregunta que usted no pidió (pero que yo erróneamente entiende que la pregunta que usted está pidiendo a), así que no se moleste con él.

(Se añade un poco más adelante.) Aquí es un ejemplo para los relacionados con el más fuerte de que se trate; es evidente la extensión de la contraejemplo para la pregunta original. Vamos $X$, $Y$, $U$, $V$ ser formal de las variables, y el conjunto de $R:=\ZZ[X,Y]$, $S:=\ZZ[X,Y,U,V,X/U,Y/U,X/V,Y/V]$. $~$Si $e\in S$ es un divisor común de
$X$ $Y$ $S$, a continuación, $e\sim_S 1$ o $e\sim_S U$ o $e\sim_S V$, y el conjunto de $\set{1,U,V}$ no tiene un mayor elemento en el conjunto preordenado $(S,{\divides_S})$.