¿Es posible que dos Variables Aleatorias de la misma familia de distribución tengan la misma expectativa y varianza, pero diferentes momentos superiores?

Question

Estaba pensando en el significado de la familia a escala local. Tengo entendido que para cada $X$ miembro de una familia de escalas de localización con parámetros $a$ ubicación y $b$ escala, entonces la distribución de $Z =(X-a)/b$ no depende de ningún parámetro y es el mismo para cada $X$ perteneciente a esa familia.

Así que mi pregunta es ¿podría proporcionar un ejemplo en el que dos aleatorias de la misma familia de distribución se estandaricen pero que no resulte en una Variable Aleatoria con la misma distribución?

Diga $X$ y $Y$ provienen de la misma familia de distribuciones (donde con familia me refiero, por ejemplo, a las dos Normales o a las dos Gamma, etc.). Definir:

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

sabemos que ambos $Z_1$ y $Z_2$ tienen la misma expectativa y varianza, $\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$ .

¿Pero pueden tener momentos superiores diferentes?

Mi intento de responder a esta pregunta es que si la distribución de $X$ y $Y$ depende de más de 2 parámetros de lo que podría ser. Y estoy pensando en el generalizado $t-student$ que tiene 3 parámetros.

Pero si el número de parámetros es $\le2$ y $X$ y $Y$ provienen de la misma familia de distribuciones con la misma expectativa y varianza, entonces significa que $Z_1$ y $Z_2$ tiene la misma distribución (momentos superiores)?

Answer 1

Si quiere un ejemplo que sea una "familia de distribución parametrizada oficialmente", puede buscar la distribución gamma generalizada, https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution . Esta familia de distribución tiene tres parámetros, por lo que se puede fijar la media y la varianza y seguir teniendo libertad para variar los momentos superiores. Desde la página de la wiki, el álgebra no parece invitar, yo preferiría hacerlo numéricamente. Para aplicaciones estadísticas, busque en este sitio gamlss, que es una extensión de gam (modelos aditivos generalizados, en sí mismo una generalización de glm's) que tiene parámetros para "ubicación, escala y forma".

Otro ejemplo es el $t$ -distribuciones, ampliadas para ser una familia a escala de localización. A continuación, el tercer parámetro será los grados de libertad, que desconfiarán de la forma para una ubicación y una escala fijas.

Answer 2

Hay un número infinito de distribuciones con media cero y varianza uno, por lo tanto, tome $\epsilon_1$ distribuido a partir de una de estas distribuciones, digamos la $\mathcal{N}(0,1)$ y $\epsilon_2$ de otra de estas distribuciones, digamos la de Student $t$ con 54 grados de libertad reescalados por $\sqrt\frac{1}{3}$ para que su varianza sea uno, entonces $$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$$ disfrutar de las propiedades que mencionas. El "número" de parámetros es irrelevante para la propiedad.

Obviamente, si se establecen otras reglas a la definición de esta familia, como por ejemplo que exista una densidad fija $f$ tal que la densidad de $X$ es $$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$$ puede terminar con una única distribución posible.

Answer 3

Al parecer, hay cierta confusión en cuanto a lo que es una familia de distribuciones y cómo contar los parámetros libres frente a los parámetros libres más fijos (asignados). Esas preguntas son un aparte que no está relacionado con la intención del PO, y de esta respuesta. No uso la palabra familia aquí porque es confuso. Por ejemplo, un familia según una fuente es el resultado de variar el parámetro de forma. @whuber afirma que Una "parametrización" de una familia es un mapa continuo desde un subconjunto de ℝ $^n$ con su topología habitual, en el espacio de las distribuciones, cuya imagen es esa familia. Utilizaré la palabra formulario que cubre tanto el uso previsto de la palabra familia y parámetro identificación y recuento. Por ejemplo, la fórmula $x^2-2x+4$ tiene el formulario de una fórmula cuadrática, es decir, $a_2x^2+a_1x+a_0$ y si $a_1=0$ la fórmula sigue siendo de forma cuadrática. Sin embargo, cuando $a_2=0$ la fórmula es lineal y la forma ya no es lo suficientemente completa como para contener un término de forma cuadrática. A quienes deseen utilizar la palabra familia en un contexto estadístico adecuado se les anima a contribuyen a esa pregunta separada .

Respondamos a la pregunta "¿Pueden tener momentos superiores diferentes?". Hay muchos ejemplos de este tipo. Observamos de paso que la pregunta parece referirse a las FDP simétricas, que son las que suelen tener ubicación y escala en el caso biparamétrico simple. La lógica: Supongamos que hay dos funciones de densidad con formas diferentes que tienen dos parámetros idénticos (localización, escala). Entonces hay un parámetro de forma que ajusta la forma, o bien, las funciones de densidad no tienen un parámetro de forma común y por lo tanto son funciones de densidad sin forma común.

A continuación, un ejemplo de cómo el parámetro de la forma se tiene en cuenta. El función de densidad de error generalizada y aquí es una respuesta que parece tener una curtosis de libre elección.

Por Skbkekas - Obra propia, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

La PDF (también conocida como función de densidad de "probabilidad", nótese que la palabra "probabilidad" es superflua) es $$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$$

La media y la ubicación es $\mu$ la escala es $\alpha$ y $\beta$ es la forma. Obsérvese que es más fácil presentar las PDF simétricas, porque esas PDF suelen tener la ubicación y la escala como los dos casos de parámetros más simples, mientras que las PDF asimétricas, como la gamma PDF tienden a tener la forma y la escala como parámetros del caso más simple. Siguiendo con la función de densidad del error, la varianza es $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$ la asimetría es $0$ y la curtosis es $\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$ . Así, si establecemos que la varianza es 1, entonces asignamos el valor de $\alpha$ de $\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$ mientras varía $\beta>0$ para que la curtosis se pueda seleccionar en el rango de $-0.601114$ a $\infty$ .

Es decir, si queremos variar los momentos de orden superior, y si queremos mantener una media de cero y una varianza de 1, tenemos que variar la forma. Esto implica tres parámetros, que en general son: 1) la media o, en su defecto, la medida de localización adecuada, 2) la escala para ajustar la varianza u otra medida de variabilidad, y 3) la forma. Hacen falta al menos TRES PARÁMETROS PARA HACERLO.

Obsérvese que si hacemos las sustituciones $\beta=2$ , $\alpha=\sqrt{2}\sigma$ en el PDF anterior, obtenemos $$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$$

que es la función de densidad de una distribución normal. Por lo tanto, la función de densidad de error generalizada es una generalización de la función de densidad de la distribución normal. Hay muchas formas de generalizar la función de densidad de una distribución normal. Otro ejemplo, pero con la función de densidad de la distribución normal sólo como valor límite, y no con valores de sustitución de rango medio como la función de densidad de error generalizada, es la función de Student $-t$ de la función de densidad. Utilizando la función de densidad de Student $-t$ función de densidad, tendríamos una selección bastante más restringida de la curtosis, y $\textit{df}\geq2$ es el parámetro de forma porque el segundo momento no existe para $\textit{df}<2$ . Además, df no se limita en realidad a valores enteros positivos, sino que en general es real $\geq1$ . El estudiante $-t$ sólo se vuelve normal en el límite como $\textit{df}\rightarrow\infty$ Por eso no lo he elegido como ejemplo. No es ni un buen ejemplo ni un contraejemplo, y en esto no estoy de acuerdo con @Xi'an y @whuber.

Permítanme explicar esto con más detalle. Uno puede elegir dos de muchas funciones de densidad arbitrarias de dos parámetros para tener, como ejemplo, una media de cero y una varianza de uno. Sin embargo, no todas tendrán la misma forma. Sin embargo, la pregunta se refiere a funciones de densidad de la MISMA forma, no a formas diferentes. La afirmación de que las funciones de densidad tienen la misma forma es una asignación arbitraria, ya que se trata de una cuestión de definición, y en eso difiere mi opinión. No estoy de acuerdo en que sea arbitrario porque uno puede hacer una sustitución para convertir una función de densidad en otra, o no. En el primer caso, las funciones de densidad son similares, y si por sustitución podemos demostrar que las funciones de densidad no son equivalentes, entonces esas funciones de densidad son de diferente forma.

Por lo tanto, utilizando el ejemplo de la $-t$ PDF, las opciones son considerar que es una generalización de una PDF normal, en cuyo caso una PDF normal tiene una forma admisible para un Student's $-t$ o no, en cuyo caso el PDF del estudiante $-t$ tiene una forma diferente a la del PDF normal y por lo tanto es irrelevante para la cuestión planteada .

Podemos argumentar esto de muchas maneras. Mi opinión es que un PDF normal es una forma sub-seleccionada de un Student's $-t$ pero que una PDF normal no es una sub-selección de una PDF gamma aunque se pueda demostrar que un valor límite de una PDF gamma es una PDF normal, y, mi razón para esto es que en la PDF normal/Student' $-t$ el soporte es el mismo, pero en el caso normal/gama el soporte es infinito frente a semi-infinito, que es la incompatibilidad requerida.

Answer 4

Creo que estás preguntando si dos variables aleatorias procedentes de la misma familia de escala de localización pueden tener la misma media y varianza, pero al menos un momento superior diferente. La respuesta es no.

Prueba : Dejemos que $X_1$ y $X_2$ sean dos variables aleatorias de este tipo. Dado que $X_1$ y $X_2$ están en la misma familia de escala de localización, existe una variable aleatoria $X$ y los números reales $a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$ tal que $X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ y $X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$ . Desde $X_1$ y $X_2$ tienen la misma media y varianza, tenemos:

1. $E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$ .
2. $\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$ .

Si $\operatorname{Var}[X] = 0$ entonces $X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$ con probabilidad $1$ y, por tanto, los momentos superiores de $X_1$ y $X_2$ son todos iguales. Así que podemos suponer que $\operatorname{Var}[X] \neq 0$ . De ahí que (2) implique que $|a_1|=|a_2|$ . Desde $a_1>0$ y $a_2>0$ tenemos de hecho que $a_1=a_2$ . A su vez, (1) anterior implica ahora que $b_1=b_2$ . Por lo tanto, tenemos eso: $$ E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k], $$ para cualquier $k$ es decir, todos los momentos de $X_1$ y $X_2$ son todos iguales.

Answer 5

Dado que la pregunta puede interpretarse de múltiples maneras, dividiré esta respuesta en dos partes.

• R: familias de distribución.
• B: familias de distribución a escala de localización.

El problema del caso A puede ser fácilmente respondido/demostrado por muchas familias con un parámetro de forma.

El problema del caso B es más difícil, ya que un parámetro y medio parece ser suficiente para especificar la ubicación y la escala (ubicación en $\mathbb{R}$ y escala en $\mathbb{R_{>0}}$ ), y el problema se convierte en si dos parámetros pueden ser utilizados para codificar (múltiples) formas además. Esto no es tan trivial. Podemos fácilmente llegar a familias específicas de escalas de localización de dos parámetros y demostrar que no se tienen formas diferentes, pero no se demuestra que esta sea una regla fija para cualquier familia de escalas de localización de dos parámetros.

R: ¿Pueden dos distribuciones diferentes de la misma familia de distribuciones de 2 parámetros tener la misma media y varianza?

La respuesta es sí y ya se puede demostrar utilizando uno de los ejemplos mencionados explícitamente: la distribución Gamma normalizada

Familia de distribuciones gamma normalizadas

Dejemos que $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ con $X$ una variable con distribución Gamma. La distribución (acumulativa) de $Z$ es el siguiente:

$$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases} $$

donde $\gamma$ es la función gamma incompleta.

Por lo tanto, en este caso es evidente que diferentes $Z_1$ y $Z_2$ (distribuciones de la familia de las distribuciones gamma normalizadas) pueden tener la misma media y varianza (a saber $\mu=0$ y $\sigma=1$ ) pero difieren en función del parámetro $k$ (a menudo denominado parámetro de "forma"). Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que la familia de distribuciones gamma no es una familia de escala de localización.

B: ¿Pueden dos distribuciones diferentes del mismo parámetro 2 escala de localización familia de distribución tienen la misma media y varianza?

Creo que la respuesta es no si consideramos sólo familias suaves (suaves: un pequeño cambio en los parámetros dará lugar a un pequeño cambio de la distribución/función/curva). Pero esa respuesta no es tan trivial y cuando utilizamos familias más generales (no suaves) entonces podemos decir sí Aunque estas familias sólo existen en teoría y no tienen relevancia práctica.

Generación de una familia a escala de localización a partir de una única distribución mediante traslación y escalado

Desde cualquier solo podemos generar una familia a escala de localización por traslación y escalado. Si $f(x)$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución única, entonces la función de densidad de probabilidad de un miembro de la familia será

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$$

Para una familia a escala de localización que puede ser generada de tal manera tenemos:

• para dos miembros cualesquiera $f(x;\mu_1,\sigma_1)$ y $f(x;\mu_2,\sigma_2)$ si sus medias y varianzas son iguales, entonces $f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

¿Pueden todas las familias de escala de localización de dos parámetros generar sus distribuciones de miembros a partir de una única distribución de miembros mediante traslación y escalado?

Así, la traslación y el escalado pueden convertir una distribución única en una familia a escala de localización. La cuestión es si lo contrario es cierto y si cada familia de escala de localización de dos parámetros (donde los parámetros $\theta_1$ y $\theta_2$ no tienen por qué coincidir con la ubicación $\mu$ y escala $\sigma$ ) puede describirse mediante una traslación y escalado de un solo miembro de esa familia.

Para familias particulares de dos parámetros de escala de localización, como la familia de distribuciones normales, no es demasiado difícil demostrar que se pueden generar según el proceso anterior (escalado y traslación de un solo miembro de ejemplo).

Cabe preguntarse si es posible que cada familia de escala de localización de dos parámetros que se genera a partir de un único miembro mediante la traslación y el escalado. O una afirmación contradictoria: "¿Puede una familia de escala de localización de dos parámetros contener dos distribuciones de miembros diferentes con la misma media y varianza?", para lo cual sería necesario que la familia es una unión de múltiples subfamilias que se generan cada una de ellas por traducción y escalamiento.

Caso 1: Familia de distribuciones t de Student generalizadas, parametrizadas por dos variables

Un ejemplo artificial ocurre cuando hacemos algún mapeo de $R^2$ en $R^3$ ( cardinalidad-de-mathbbr-y-mathbbr2 ) que permite la libertad de utilizar dos parámetros $\theta_1$ y $\theta_2$ para describir una unión de múltiples subfamilias que se generan mediante la traducción y el escalado.

Utilicemos la distribución t de Student generalizada (de tres parámetros):

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

con los tres parámetros modificados como sigue $$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$$

entonces tenemos

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

que puede considerarse una familia de escala de localización de dos parámetros (aunque no muy útil) que no puede generarse mediante la traslación y el escalado de un solo miembro.

Caso 2: Familias de escala de localización generadas por el escalado negativo de una única distribución con asimetría no nula

Un ejemplo menos rebuscado, que el uso de esta función tan, lo da Whuber en los comentarios de la respuesta de Carl. Podemos tener una familia $x \mapsto f(x/b + a)$ donde al voltear el signo de $b$ mantiene la media y la varianza sin cambios, pero posiblemente cambiando los momentos superiores desiguales. Así que esto da un poco más fácilmente una familia de escala de localización de dos parámetros donde los miembros con la misma media y varianza pueden tener diferentes momentos de orden superior. Este ejemplo de Whuber puede dividirse en dos subfamilias, cada una de las cuales puede generarse a partir de un único miembro mediante la traslación y el escalado.

Familias suaves

Si intentamos hacer una única familia de distribución suave de dos parámetros (suave: un pequeño cambio en los parámetros dará lugar a un pequeño cambio de la distribución/función/curva) haciendo de alguna manera una composición de dos o más familias que se generan por traslación y escalado, entonces nos metemos en problemas para que los dos parámetros cubran tanto la variación de la 'media' y la 'varianza', como el tercer parámetro 'forma'. Una prueba formal tendrá que ir en la misma línea que la respuesta a la pregunta: ¿Existe una función suryectiva suave $f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$ ? (donde la respuesta es no en el caso de suave es decir, funciones infinitamente diferenciables, aunque hay continuo funciones que harían el trabajo, como las curvas de Peano).

Intuición: Imagina que hay algunos parámetros $\theta_1$ , $\theta_2$ que describen las distribuciones en alguna familia de distribuciones a escala de localización y mediante las cuales podemos cambiar la media y la varianza también como algunos otros momentos, entonces deberíamos ser capaces de expresar $\theta_1$ , $\theta_2$ en términos de la media $\mu$ y la varianza $\sigma$

$$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$$

pero deben ser funciones de valor múltiple y éstas no pueden hacer transiciones continuas, los diferentes valores de $f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$ para un determinado $\mu$ y $\sigma$ no son continuas, y no podrán modelar un parámetro de forma continua.

En realidad, no estoy tan seguro de esta parte final. Posiblemente podríamos utilizar una curva que llene el espacio (como la curva de Peano, si supiéramos cómo expresar las coordenadas de la curva a coordenadas del hipercubo) para tener un único parámetro $\theta_1$ modelar completamente características múltiples como la media y la varianza, sin renunciar a la propiedad de que un pequeño cambio del parámetro $\theta_1$ equivale a un pequeño cambio de la función $f(x;\theta_1)$ en cada $x$