(Co) integridad de la categoría de objetos del grupo abeliano en una categoría (co) completa

Question

Permita que$C$ sea una categoría con todos los límites finitos (co) y un objeto$0$. Permita que$\mathbf{Ab}(C)$ sea la categoría de objetos del grupo abeliano en$C$, es decir, la categoría de funtores representables$C^{op} \to Set$ que factoriza a través de la categoría de grupos abelianos. ¿$\mathbf{Ab}(C)$ Tiene todos los límites finitos (co)?

De forma equivalente, ¿tiene un límite (co) finito de objetos en$C$, cada uno con una estructura de grupo abeliano, una estructura de grupo? Obviamente, uno debe asumir que todos los mapas son homomorfismos grupales.

Answer 1

En cuanto a los límites, sí. El functor categoría $Ab^{C^{op}}$ tiene límites (evaluado pointwise). Por otra parte, en $Set^{C^{op}}$, un límite finito de representable functors es representable, ya que es un objeto que representa el límite es la misma cosa como un límite de la representación de los objetos, y $C$ tiene todos los límites finitos. Esto sigue siendo cierto en $Ab^{C^{op}}$ desde los límites son evaluados pointwise en ambas categorías y el olvido functor $Ab\to Set$ crea límites. Por lo tanto $\mathbf{Ab}(C)$ tiene límites finitos, y más en general, el olvidadizo functor $\mathbf{Ab}(C)\to C$ crea límites.

O si lo prefiere, en términos más concretos: si usted toma un límite de un diagrama de abelian grupo de objetos, el conjunto de mapas de cualquier otro objeto $X$ $C$ en el límite será el límite de los conjuntos de mapas de $X$ a cada uno de los objetos en el diagrama (esto es, básicamente, la definición de un límite). Desde el límite (en $Set$) de un diagrama de abelian grupos y homomorphisms tiene un natural abelian estructura de grupo, esto significa que el límite de objeto es un objeto de grupo abelian.

Para colimits la historia no es tan agradable. Vemos esto en el caso $C=Set$, donde el olvido functor $Ab\to Set$ no puede mantener colimits (aunque colimits existen en $Ab$). Para un ejemplo donde finito colimits existen en $C$, pero no en $\mathbf{Ab}(C)$, vamos a $C$ ser el poset $\mathbb{N}$. A continuación, $\mathbf{Ab}(C)$ es la categoría vacía, ya que si $X$ es un grupo abelian objeto, a continuación, $\operatorname{Hom}_C(Y,X)$ es un grupo abelian y, en particular, es no vacío para todos los $Y$, pero no hay ningún objeto de $C$ que tiene un mapa de todo otro objeto. En particular, $\mathbf{Ab}(C)$ no tiene objeto inicial.

(Sin embargo, si $C$ ha finito límites, a continuación, $\mathbf{Ab}(C)$ tiene al menos finito co-productos, desde finito y productos finitos de co-productos son los mismos en $\mathbf{Ab}(C)$ y más en general, en cualquier categoría enriquecido en abelian grupos. No sé de un ejemplo en donde la $C$ tiene tanto finito colimits y límites finitos, sino $\mathbf{Ab}(C)$ no han coequalizers, pero creo que debería ser posible).

Answer 2

Otra manera de abordar el caso de los límites finitos existente es la siguiente.

Abelian grupo de objetos en $C$ son modelos de un límite finito de croquis.

Si usted no está familiarizado con el término, al menos, descripción técnica es dejar a $\mathbf{T}$ ser el opuesto de la categoría de finitely presentan grupos. A continuación, un grupo abelian objeto en $C$ es la misma cosa que un functor $M : \mathbf{T} \to C$ que es la izquierda exacta — es decir, preserva límites finitos.

(El objeto subyacente es $M(\mathbb{Z})$. Además es el mapa $M(\mathbb{Z}^2) \cong M(\mathbb{Z})^2 \to M(\mathbb{Z})$ inducida por la diagonal $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^2$. Y lo mismo para las otras operaciones).

Desde $C$ tiene límites finitos, límites finitos en el functor categoría $C^{\mathbf{T}}$ son calculadas pointwise. Y podemos ver que el límite de la izquierda exacta functors queda exacta, por el siguiente argumento.

Deje $F = \lim_i F_i$ ser un límite finito de functors y $t = \lim_j t_j$ ser un límite finito de objetos de $\mathbf{T}$. Suponiendo que el $F_i$ preservar límites finitos, el intercambio de los límites de prueba que $F$ hace así:

$$\begin{align} F(t) &= (\lim_i F_i)(t) = \lim_i F_i(t) \\&= \lim_i \left( F_i(\lim_j t_j) \right) = \lim_i \left( \lim_j F_i(t_j) \right) \\&= \lim_j \left( \lim_i F_i(t_j) \right) = \lim_j \left( (\lim_i F_i)(t_j) \right) \\&= \lim_j F(t_j) \end{align}$$

Tenga en cuenta que si $C$ tiene todos los límites de los pequeños, a continuación, el mismo argumento se aplica a mostrar $\mathbf{Ab}(C)$ tiene todos los límites de los pequeños.

También de la nota es que si $C$ ha filtrado colimits que conmuta con límites finitos, a continuación, $\mathbf{Ab}(C)$ también se ha filtrado colimits que conmuta con límites finitos.