Solución algebraica de ecuaciones de logaritmo natural como $1-x+x\ln(-x)=0$

Question

Usted por favor me puede mostrar el método para resolver ecuaciones de logaritmo natural ($\ln$) de este tipo (esto es solo un ejemplo):

$$1-x+x\ln(-x)=0$$

(que $x<0$?)

Quiero decir con este tipo de "logaritmo natural con polinomios". Parece que no puedo resolver estos no importa lo hagas. Pensé que tiene que haber un método "algebraico" en lugar de una numérica.

Answer 1

Si usted está después de una solución en términos de funciones conocidas, aunque no necesariamente de funciones elementales, la ecuación se puede resolver en términos de la función W de Lambert.

Para ello tenemos que volver a escribir la ecuación, de modo que es exactamente en el formulario para la definición de la ecuación de la función W de Lambert, a saber $$\text{W}(x) e^{\text{W}(x)} = x.$$ Aquí $\text{W}(x)$ denota la función W de Lambert.

De $$1 - x + x \ln (-x) = 0, \quad x < 0,$$ reorganización de da $$\ln (-x) = 1 - \frac{1}{x}.$$ Después de tomar la exponencial de ambos lados y reorganizar nos quedamos con $$-\frac{1}{x} \exp \left (-\frac{1}{x} \right ) = \frac{1}{e}.$$ De problemas en términos de $x$ rendimientos $$x = -\frac{1}{\text{W}_0 (1/e)}.$$ Nota sólo la rama principal de la función W de Lambert es seleccionado desde su argumento es positivo.

Numéricamente, como $\text{W}_0 (1/e) = 0.278\,464\,542\ldots$ hemos $$x = -3.591\,121\,476\ldots$$

Answer 2

Si no puede utilizar la función de Lambert y no quiero métodos numéricos, puede utilizar la función de aproximación para obtener una "razonable" estimación de la solución.

Desde $x=-e$ parece ser muy interesante, porque el logaritmo, nos permiten utilizar Padé approximants construido alrededor de este valor. Para hacer la vida más simple, vamos a utilizar el grado $1$ para el numerador y el grado $n$ para el denominador. Esto significa que, al final, sólo tenemos que solucionar $$a^{(n)}_0+a^{(n)}_1 (x_{(n)}-e)=0$$

Me produce a continuación de las expresiones para un par de valores de $n$ y sus aproximaciones numéricas $$\left( \begin{array}{ccc} n & x_{(n)} & x_{(n)}\approx \\ 1 & \frac{-3 e-2 e^2}{1+2 e} & -3.56292 \\ 2 & \frac{-4 e-24 e^2-12 e^3}{-2+12 e+12 e^2} & -3.59832 \\ 3 & \frac{6 e-66 e^2-180 e^3-72 e^4}{6-6 e+108 e^2+72 e^3} & -3.58922 \\ 4 & \frac{-24 e+60 e^2-1260 e^3-2160 e^4-720 e^5}{-36+180 e^2+1440 e^3+720 e^4} & -3.59164 \\ 5 & \frac{360 e-240 e^2-2700 e^3-61200 e^4-75600 e^5-21600 e^6}{720+240 e-2700 e^2+18000 e^3+54000 e^4+21600 e^5} & -3.59098 \end{array} \right)$$

Answer 3

Para resolver la ecuación $$1 - x + x \ln(-x) = 0, \tag1$$

para $x < 0,$ puede establecer $z = -\frac 1x,$ $x = -\frac 1z$ y $\ln(-x) = \ln\left(\frac 1z\right) = -\ln(z).$ Entonces la Ecuación de $(1)$ es equivalente a $$1 + \frac 1z + \frac 1z \ln(z) = 0,$$ y desde $z > 0$ esto es equivalente a $$z + 1 + \ln(z) = 0,$$ es decir, $$\ln(z) = -1 - z. \tag2$$

Tenga en cuenta que el Lambert $W$ función está definido de tal forma que $\ln(W(u)) = \ln(u) - W(u)$ para $u > 0;$ si establecemos $u = e^{-1}$ hemos $$\ln\left(W\a la izquierda(e^{-1}\right)\right) = \ln\left(e^{-1}\right) - W\a la izquierda(e^{-1}\right) = -1 - W\a la izquierda(e^{-1}\right),$$ por lo $z = W\left(e^{-1}\right)$ es una solución de la Ecuación de $(2),$ y $x = -\frac{1}{W\left(e^{-1}\right)}$ es una solución de la Ecuación de $(1).$

El Lambert $W$ función no es generalmente considerado "elemental," y una fórmula más general con logaritmos y polinomios no tendrían necesariamente que ser resueltos en términos de Lambert $W$ función y funciones elementales. La respuesta a su pregunta en general es el uso de métodos numéricos.

Answer 4

Una ecuación $F(x)=c$ ($c$ constante) está relacionada con una función de $F$. Una función cuya función plazo se compone sólo de polinomios y logaritmos es una función primaria. Las funciones elementales de acuerdo a Liouville y Ritt son aquellas funciones que se han obtenido en un número finito de pasos por realizar sólo operaciones algebraicas y/o tomando exponenciales y/o logaritmos (Wikipedia: Primaria función).

Para resolver una ecuación dada $F(x)=c$ sólo mediante la transformación de éste mediante la aplicación de sólo primaria de las operaciones y funciones de los medios para aplicar la composición inverso $F^{-1}$$F$. Ritt, J. F.: funciones Elementales y sus inversas. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 27 (1925) (1) 68 a 90 dice que los tipos de funciones elementales pueden tener un elemental inversa y que no.

Se sigue de Ritt del artículo, debido a que $x$ $\ln(x)$ son algebraicamente independientes, una expresión algebraica de la función en dependencia de sólo $x$ $\ln(x)$ que no puede ser reducida a una expresión algebraica de la función de sólo un argumento complejo no puede tener un elemental inversa.

Pero puedes probar a utilizar Lambert W o uno de sus generalizaciones. Lambert W es el multivalor inversa de la función primaria $f$$f\colon x\mapsto xe^{x}$. Para aplicar sólo Lambert W y funciones elementales, la ecuación debe estar en forma

$$f_1(f_2(x)e^{f_2(x)})=c,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

donde $c$ es una constante y $f_1$ $f_2$ son funciones elementales con un adecuado primaria local inversa, o, equivalentemente, en la forma

$$\ln(f_2(x))+f_2(x)=\ln(f_{1}^{-1}(c)).$$

Su ecuación en la que la pregunta debe ser llevado a ese formulario.

Si usted tiene una ecuación

$$f(g(x)e^{h(x)})=c_1\ \ (c_1\ constant),$$

usted puede tratar de

$$g(x)e^{h(x)}=f^{-1}(c_1),$$

$$ae^{b}\left(g(x)e^{h(x)}\right)^{d}=ae^{b}f^{-1}(c_1)^{d},$$

$$ag(x)^{d}e^{b+dh(x)}=ae^{b}f^{-1}(c_1)^{d},$$

$$ag(x)^{d}=b+dh(x),$$

donde $a,b,d$ son constantes. $d$ es el grado de $h(x)$ dividido por el grado de $g(x)$. Usted obtiene un sistema de ecuaciones que contiene las ecuaciones para todos los poderes de $x$. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene la ecuación (1) y por lo $f_{1}(x)$$f_{2}(x)$. En la ecuación (1), se establece además:

$$f_{2}(x)=W(f_{1}^{-1}(c)),$$ $$x=f_{2}^{-1}(W(f_{1}^{-1}(c))).$$

Answer 5

NOTA

Solución para la primera versión: $1 -x + \ln -x=0$

Que $y=-x$

$$1 -x + \ln -x=0 \implies 1 +y + \ln y =0 \implies \ln y=-1-y$$

tiene exactamente una solución

$$y ≈ 0.278464542761074...$$

que se puede encontrar por método numérico