Hay polinomio $f(x)=x^3 +ax^2+bx+c$ y $ab=9c$ y $b<0$. Como en el título. Sólo he venido para arriba hasta ahora con $9x^3 + 9ax^2 + 9bx+ab=0$ y factoring aquí no hace nada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He ampliado Eric Torres' comentarios en una respuesta. Espero que esto pueda ayudar a OP. El segundo método es más eficiente y propensos a errores, no funciona bien, a diferencia de la primera.
Método 1: Discriminante
Dado que el$ab=9c$$b<0$, el discriminantees \begin{align} \Delta &= 18(1)abc-4a^3c+a^2b^2-4(1)b^3-27(1)^2c^2 \\ &= 162c^2-4a^3c+81c^2-4b^3-27c^2 \\ &= 216c^2-4a^3c-4b^3 \\ &= 4\left(54c^2-a^3c-b^3\right) \\ &= 4\left[54c^2-\left(\frac{9c}{b}\right)^3c-b^3\right] \\ &= 4\left[54c^2+\frac{3^6c^4}{(-b)^3}+(-b)^3\right] \\ &= \frac{4}{(-b)^3} \left[\left(3^3c^2\right)^2+2\left(3^3c^2\right)(-b)^3+(-b)^6\right] \\ &= \frac{4}{\underbrace{(-b)^3}_{b<0}} (\underbrace{27c^2}_{\ge0}+\underbrace{(-b)^3}_{b<0})^2 > 0 \end{align} Por lo tanto $f(x)=x^3 +ax^2+bx+c$ tiene tres raíces reales.
Método 2: regla de Descartes de los signos
Edit: Como se señaló en los comentarios, este argumento es incompleto. Traté de prueba por contradicción, y dividiendo por $x-r$ ($r$ es el positivo de la raíz) en el caso de $a>0$, pero yo no puedo averiguar cómo funciona esto.
Estoy saliendo de este, esperando que algún usuario motivado completar este
Consulte la Wiki de ejemplo para saber cómo aplicar este resultado.
Reescribir $f(x)=x^3 +ax^2+bx+c$ en una matriz de $\pm$: $(+,?,-,?)$. Desde $ab=9c$$b<0$, la primera y la tercera $?$'s son opuestos el uno al otro.
\begin{array}{c|c|c} \text{Case} & \text{+ve roots} & \text{-ve roots} \\ \hline a>0 & +,+,-,- & -,+,+,- \\ & \text{1 sign change} & \text{2 sign changes} \\ \hline a<0 & +,-,-,+ & -,-,+,+ \\ & \text{2 sign changes} & \text{1 sign change} \\ \hline a=0 & +,\phantom{+},-,\phantom{+} & -,\phantom{+},+,\phantom{+} \\ & \text{1 sign change} & \text{1 sign change} \end{array}
- Divida la situación en los tres casos, según el signo de $a$.
- Extracto de los signos de $f(x)$ y que las escriban en la primera columna.
- Contar el número de cambios de signo ($+,-$ o $-,+$) en cada celda. Esto representa la paridad del número de positivos de la raíz(s) en cada caso.
- Escribe los signos de $f(-x)$ en la segunda columna.
- Copia de los signos que representan incluso los poderes de $x$.
- Invertir los signos que representan potencias impares de $x$.
- Repetir (3) en la segunda columna. Esto representa la paridad del número de negativo de la raíz(s) en cada caso.
- Si $a\ne0$, no podemos concluir nada de ella.
- Si $a=0$, $ab=9c$ da $c=0$, lo $x=0$ es una raíz que no se cuentan por este método. Tenemos tres raíces reales.
Eric Towers
Puntos
8212
En relación con el requisito de que $a,c$ ser real. Conjunto $a = 3\mathrm{i}$, $b = -3$, $c = -\mathrm{i}$. Entonces $b < 0$, $ab = -9\mathrm{i} = 9c$, y $f(x) = x^3 + 3 \mathrm{i} x^2 - 3 x - \mathrm{i} = (x+\mathrm{i})^3$, así que las tres raíces son iguales y ninguno es real. En consecuencia, para que el problema sea la correcta, otra restricción es necesaria. Que $a$, $b$, y $c$ debe ser real, es suficiente con que tal restricción.
Si $c = 0$, $ab=9c$ y $b<0$ de la fuerza de $a = 0$, lo $f(x) = x^3 + bx = (x^2+b)x$, teniendo las tres raíces reales $\{-\sqrt{-b},0,\sqrt{-b}\}$, que son distintos.
A partir de ahora, suponemos $c \neq 0$, lo $0$ no es una raíz de $f$. Primero nos dirigimos a dos casos donde las raíces son reales pero tienen duplicados, lo que indica que si las raíces son reales, son distintos. A continuación, nos muestran que tener un conjugado par de raíces es imposible.
Si las raíces son reales y no se distingue, entonces todos ellos son el mismo o exactamente dos son el mismo.
Supongamos (para los propósitos de la contradicción) de las raíces son $u$, $u$, y $u$ (y $u \neq 0$). $f(x) = (x-u)^3= x^3 - 3u x^2 + 3u^2 x - u^3$, así \begin{align*} a &= -3u \text{,} \\ b &= 3u^2 \text{, and} \\ c &= -u^3 \text{.} \end{align*} Pero este dice $b > 0$. Así que los tres raíces no puede ser la misma.
Ahora supongamos (para los propósitos de la contradicción) de las raíces son $u$, $u$, y $v$ (y $u \neq 0$, $v \neq 0$, y $v \neq u$). $f(x) = (x-u)^2(x-v) = x^3 -(2u+v)x^2 + (u^2 + 2uv)x - u^2 v$, así \begin{align*} a &= -(2u+v) \text{,} \\ b &= u^2 + 2uv \text{, and} \\ c &= -u^2 v \text{.} \end{align*} De $ab=9c$, \begin{align*} -(2u+v)(u^2 + 2uv) &= 9(-u^2 v) \\ -2u^3 -4 u^2 v - u^2 v - 2 uv^2 &= -9 u^2 v \\ -2u^3 - 2 uv^2 &= -4 u^2 v \\ -2u(u^2 - 2uv + v^2) &= 0 \\ -2u(u - v)^2 &= 0 \text{.} \end{align*} Desde que un producto es cero sólo si uno (o más) de los multiplicands es cero, o bien $-2u=0$ o $(u-v)^2 = 0$. El primero dice $u = 0$, una contradicción. El segundo dice $v = u$, una contradicción. Esta muestra no exactamente dos raíces son las mismas.
Por lo tanto, si las raíces son reales, las tres raíces de $f$ son distintos.
Los coeficientes de $f$ son reales. (Se supone restricción adicional, consulte a un lado antes de que esta solución). En consecuencia, cualquiera de los tres raíces son reales, o uno es real y dos son un par conjugado. Supongamos que dos son un par conjugado entonces las raíces son $u$, $v + \mathrm{i}w$, $v - \mathrm{i}w$. Por lo anterior, podemos tomar $u \neq 0$$w > 0$. Entonces $f(x) = (x-u)(x-v - \mathrm{i}w)(x - v + \mathrm{i}w) = x^3 - (u+2v)x^2 + (2uv+v^2+w^2)x - (uv^2+uw^2)$, por lo que \begin{align*} a &= - (u+2v) \text{,} \\ b &= (2uv+v^2+w^2) \text{, and} \\ c &= - (uv^2+uw^2) \text{.} \end{align*} Si $v = 0$, de $ab=9c$,$-(u)(w^2) = -9(uw^2)$, por lo $8 uw^2 = 0$ y, o bien $u=0$ (contradicción) o $w = 0$ (contradicción). Por lo tanto, $v \neq 0$. De $ab=9c$, \begin{align*} -(u+2v)(2uv+v^2+w^2) &= -9(uv^2+uw^2) \\ -2u^2v -u v^2 -u w^2 - 4uv^2-2v^3-2vw^2 &= -9uv^2 -9uw^2 \\ -2u^2v -2v^3-2vw^2 &= -4uv^2 -8uw^2 \\ (-2v)u^2 +(4v^2 +8w^2)u -2v(v^2+w^2) &= 0 \text{.} \end{align*} Por la fórmula cuadrática, $u = \frac{1}{v}\left( v^2 + 2w^2 \pm w\sqrt{3v^2+4w^2} \right)$. La única restricción de que no hemos utilizado es $b < 0$, por lo que sustituimos en la expresión de $b$ y simplificar a $b = 3v^2 + 5w^2 \pm 2w\sqrt{3v^2 + 4w^2}$. Si tomamos el positivo de la raíz, cada término es positivo, por lo que debemos tomar el negativo de la raíz y tienen $2w\sqrt{3v^2 + 4w^2} > 3v^2 + 5w^2$. Ambos lados son positivos, de modo que el cuadrado sólo los riesgos de la introducción de las soluciones negativas (de ningún interés para nosotros), dar \begin{align*} 12v^2w^2 + 16 w^4 &> 9v^4 + 30 v^2w^2 + 25w^4 \\ 0 &> 9v^4 + 18 v^2w^2 + 9w^4 \text{,} \end{align*} una imposibilidad. Por lo tanto, no es el caso que $f$ tiene un conjugado par de raíces.
Por lo tanto, hay tres distintas raíces, todos los cuales son reales.
