¿Cómo calcular el volumen de una bola en el espacio de matrices con la distancia de norma como métrica? ¿Qué pasa con las matrices unitarias o especiales unitarias?

Question

Considera el espacio de matrices complejas de $n \times n$ con una métrica igual a la distancia en la norma de Frobenius de manera que $d(A,B) \equiv \| A - B \| \equiv \sqrt{Tr[(A-B)^{\dagger}(A-B)]}$. Quiero saber el volumen de una bola definida como $B_{\epsilon}(U_0) \equiv \{U: \|U - U_0\| \leq \epsilon\}$. ¿Cuáles son algunas nociones apropiadas de volumen y qué significaría cada una? (Las respuestas que no asuman conocimiento previo de teoría de la medida serían útiles).

¿Qué pasa si quiero calcular esto basado en alguna otra distancia de norma? ¿Cuál es la forma general de pensarlo?

Además, ¿qué pasa si quiero restringir $U$ a matrices unitarias, de modo que por ejemplo tenga una bola $S_{\epsilon}(U_0) \equiv \{U \in U(n): \|U - U_0\| \leq \epsilon\}$? ¿Qué pasa si lo restrinjo aún más a $V_{\epsilon}(U_0) \equiv \{U \in SU(n): \|U - U_0\| \leq \epsilon\}$?

Nota: por favor ayúdame con las etiquetas ...

Answer 1

Para la teoría de la medida en grupos, la noción de multiplicación es mucho más importante que la de distancia.

En lo que sigue siempre asumiré que la traslación en tu grupo es la multiplicación izquierda, de lo contrario si estás simplemente sumando matrices, tu espacio es isométrico a $\mathbb{R}^{2n}$ y la respuesta es trivial.

Los ingredientes para la prueba han sido mencionados en los comentarios. Primero puedes identificar tu grupo con $\mathbb{R}^{2n}$ dotado con la multiplicación adecuada. Este es un grupo de Lie, y la topología es la inducida por la métrica euclidiana (ver comentarios arriba). Por lo tanto, existe una medida de Haar izquierda, que hasta la multiplicación por una función suave (llamada función modular) es la medida de Lebesgue. Nota que a pesar de que tu grupo es conexo y simplemente conexo, no es cierto que la función modular sea constante (si no me equivoco en nuestro caso, debería ser la raíz cuadrada del determinante, es decir si $\mu$ es la medida de Haar izquierda, entonces $d\mu(X)=\sqrt{\det(X)}dX$). Por lo tanto, la medida de tu conjunto realmente debería ser $\mu(B_{\epsilon}(U_0))$, lo cual es solo cuestión de mera computación. Nota que este volumen dependerá incluso del centro ya que tu distancia no es invariante a la izquierda (es decir, no es invariante bajo multiplicación izquierda).