¿Es cierta esta idea sobre la pendiente y cómo se demuestra?

Question

¿Es cierto que si la pendiente de la recta secante entre A y B es menor que la pendiente de la recta secante entre B y C, entonces la pendiente de la recta secante entre A y B es menor que la pendiente de A a C? ¿Es esto cierto y, si es así, cómo lo demostrarías?

Edición: A, B y C son puntos de una función

Edit2: Un posible diagrama para la pregunta

Edit3: Perdón, me he dado cuenta de que me faltaba información gracias al comentario y la respuesta. Los valores x de A, B y C están en orden creciente, es decir, x de A < x de B < x de C.

Answer 1

La pregunta de Triatticus en el comentario importa: por ejemplo

Prueba con $A$ ser $(2,0)$ y $B$ ser $(0,0)$ y siendo C $(0,1)$ La pendiente de $AB$ es $0$ menos que la pendiente de $BC$ ser $1$ pero la pendiente de $AB$ ser $0$ es mayor que la pendiente de $AC$ ser $-1$

Pero con $A$ ser $(x_a,y_a)$ y $B$ ser $(x_b,y_b)$ y siendo C $(x_c,y_c)$ entonces si $x_a \lt x_b \lt x_c$ será cierto que $\dfrac{y_b-y_a}{x_b-x_a} \lt \dfrac{y_c-y_b}{x_c-x_b} \implies \dfrac{y_b-y_a}{x_b-x_a} \lt \dfrac{y_c-y_a}{x_c-x_a}$ . Esto es una consecuencia de $\dfrac{g+i}{h+j}$ estar entre $\dfrac{g}{h}$ y $\dfrac{i}{j}$ cuando $h$ y $j$ son positivos

Estarías diciendo $\left( \frac{y_c-y_a}{x_c-x_a}-\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}\right) \left( \frac{y_c-y_b}{x_c-x_b}-\frac{y_c-y_a}{x_c-x_a}\right) = \frac{{{\left( x_b y_c-x_a y_c-x_c y_b+x_a y_b+x_c y_a-x_b y_a\right) }^{2}}}{\left( x_b-x_a\right) {{\left( x_c-x_a\right) }^{2}} \left( x_c-x_b\right) }$ donde el numerador del lado derecho es un cuadrado y por lo tanto no negativo y generalmente positivo, mientras que el denominador del lado derecho es un producto de términos positivos cuando $x_a \lt x_b \lt x_c$ lo que implica que los dos términos del lado izquierdo (las diferencias de pendiente) tienen el mismo signo