Relación de recurrencia con la parte fraccionaria

Question

Estoy considerando la siguiente secuencia: $$a_0=\sqrt 2$$ $$a_{n+1}=a_n+\{a_n\}$$ donde $\{x\}:= x-\lfloor x\rfloor$ denota la función de la parte fraccionaria. Como he observado que la secuencia presenta un crecimiento casi lineal, estoy tratando de encontrar el valor del límite $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}$$ Esto no es en absoluto riguroso, pero creo que el valor es $1/2$ porque el $\{a_n\}$ parece comportarse de alguna manera como una variable aleatoria, y si en cambio consideramos la secuencia $$b_{n+1}=b_n+X_n$$ donde cada $X_n$ es una variable aleatoria distribuida uniformemente en $(0,1)$ el valor esperado de $\Delta b_n=X_n$ es $1/2$ .

¿Alguna idea sobre cómo probar esto de forma más rigurosa? ¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Algo riguroso...

Dejemos que $\lfloor a_n \rfloor = I_n$ , $\{a_n\} = f_n$ El problema puede descomponerse en \begin{align} f_{n+1} &= 2f_n - \mathbb{1}_{f_n \geq \frac{1}{2}} \\ I_{n+1} &= I_n + \mathbb{1}_{f_n \geq \frac{1}{2}} \end{align} La parte fraccionaria sigue un Mapa de Bernoulli cuya densidad invariante es la distribución uniforme si $f_0$ es irracional, por lo que $$ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mathbb{1}_{f_k \geq \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}.$$ Por lo tanto, $$\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{n}= \lim_{n\to \infty} \frac{I_n}{n} =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mathbb{1}_{f_k \geq \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}.$$