Un tablero de ajedrez especial

Question

Cuenta de manera especial los $n\times n$ tablero de ajedrez de tal manera que cada $1\times 1$ plaza es el éter negro o blanco.

Sabemos que todas las $1\times 1$ plaza tiene exactamente una blanca plaza adyacente (dos plazas son adyacentes si comparten exactamente un lado). Por ejemplo la figura muestra una posible colorear para $n=4$.

Ejemplo:

a) Probar que si $n$ es un número impar, entonces el colorante no es posible!

b) Probar que si $n$ es un número par, entonces el colorante es posible!

c) Encontrar el número de glóbulos blancos si $n$ es un número!

Estos problemas son realmente hermosas, probarlos!

Answer 1

Aquí está la respuesta de una):

Considere la posibilidad de la $2\times 2$ cuadrados de la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha. Desde $n$ es impar, la parte superior derecha $1\times 1$ plaza no está en cualquiera de las $2\times 2$ plazas. Escribir una a Una en cada cuadrado de la diagonal principal (desde la parte inferior izquierda a la esquina superior derecha), y una B en cada uno de los cuadrados de las diagonales adyacentes.

La parte inferior izquierda $1\times 1$ plaza adyacente cuadrado blanco en la esquina inferior izquierda $2\times 2$ plaza en una B de la plaza. Por lo tanto el otro tiene ahora una adyacentes cuadrado blanco. Por lo tanto en la próxima $2\times 2$ cuadrado de la parte inferior izquierda Una adyacentes al cuadrado blanco debe ser uno de los Bs en que $2\times 2$ plaza. El otro, ahora se tiene una adyacentes cuadrado blanco. Y así sucesivamente... Hasta que llegamos a la parte superior derecha $1\times 1$ plaza. Conseguimos que no puede tener un lado de la casilla blanca, porque en ese caso el menor habría dos blancos adyacentes plazas.

Answer 2

He pensado este problema por unos días, pero no puede resolver la parte (a). Para permitir a otros editar mi respuesta (y evitar la pérdida de reputación), estoy haciendo este wiki de la comunidad.

Una historia-como introducción al problema (opcional)

Si quieres a tu hijo a pensar en este problema, puede contarles esta historia.

Una vez, es un reino con $n^2$ sitios. Para proteger la tierra, el rey