Bases para los polinomios simétricos

Question

He estado jugando con polinomios simétricos, como no, y me he topado con algo que debe ser familiar, pero no puedo encontrar nada al respecto. Para presentar la idea, voy a trabajar con polinomios simétricos en $\Bbb Z[x,y]$, pero la idea se extiende a cualquier número de variables, con los detalles solo se pone un poco más difícil de escribir.

Tenemos la primaria simétrica polinomios en dos variables: $\sigma_1=x+y$$\sigma_2=xy$.

Ahora, tomamos un grado, decir $4$. Si queremos expresar cualquier grado $4$ simétrica polinomios en $x$$y$, hay dos bases que parecen naturales a utilizar:

$\rho_1=\sigma_1^4\\ \rho_2=\sigma_1^2\sigma_2\\ \rho_3=\sigma_2^2$

y

$\tau_1=x^4+y^4\\ \tau_2=x^3y+xy^3\\ \tau_3=x^2y^2$

Estas bases están relacionados por la ecuación:

$\left[\begin{matrix} 1&4&6\\0&1&2\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} \tau_1\\ \tau_2\\ \tau_3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \rho_1\\ \rho_2\\ \rho_3\end{matrix}\right]$

Las entradas de esta matriz son los coeficientes binomiales, si estábamos trabajando en 3 variables, estaríamos mirando trinomio coeficientes de lugar, etc.

Mi pregunta es: ¿qué estoy mirando? Supongo que esto ha sido ampliamente estudiado. Son estas bases, y las transformaciones entre ellos, que se llama algo? Son las transformaciones especial de alguna manera? Todos ellos tienen la característica polinomios de la forma $(1-\lambda)^k$ algunos $k$, siendo triangular con $1$s en la diagonal. Hay más que no estoy viendo? Hay una forma más rápida para escribir las transformaciones que acaba de expansión de cada una de las $\rho_i$?

Gracias de antemano por cualquier idea o información que cualquiera puede proporcionar.

Answer 1

La matriz de cambio de base de la monomio (su $\{\tau_i\}$) a la escuela primaria simétrica (su $\{\rho_i\}$) tiene una combinatoria descripción, que se administra como Proposición 7.4.1 en Richard Stanley Combinatoria Enumerativa, Volumen 2. Voy a dar la declaración aquí.

Recordemos que una partición $\lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$ es finito, no-creciente lista de enteros positivos. Asociado con cada partición primaria simétrica de la función $e_\lambda$ y un monomio simétrica de la función $m_\lambda$. Por ejemplo, la base de los elementos son $\rho_1=e_{1111}$, $\rho_2=e_{211}$, $\rho_3=e_{22}$, $\tau_1=m_4$, $\tau_2=m_{31}$, y $\tau_3=m_{22}$. Tanto en $\{e_\lambda\}$ $\{m_\lambda\}$ son bases para simétrica funciones. El cambio de base tiene la forma $$ e_\lambda=\sum_\mu M_{\lambda\mu} m_{\mu} $$ donde para las particiones $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$$\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_\ell)$, el coeficiente de $M_{\lambda\mu}$ es el número de $k\times\ell$ matrices con entradas en $\{0,1\}$ tales que la suma de los $i$-ésima fila es $\lambda_i$ y la suma de los $j$-ésima columna es $\mu_j$.