Transformada de Fourier

Question

Estoy tratando de calcular la transformada de Fourier de $f(x) = \frac{1-\cos(tx)}{x^2}$, $(t > 0)$ directamente. Trató de integración del contorno y no puede parecer para conseguir que funcione. Por lo tanto, me pregunto si se puede hacer en este camino, o, mejor aún, si hay una manera más simple de hacerlo.

Answer 1

Hay otra manera, si usted está bien trabajar con un FT que se puede saber.

Utilizar la mitad del ángulo de la fórmula para escribir

$$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{1-\cos{t x}}{x^2} e^{i \omega x} = 2 \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\sin^2{(t x/2)}}{x^2} e^{i \omega x}$$

Sustituto $u = t x/2$ para obtener

$$\hat{f}(\omega) = t \int_{-\infty}^{\infty} du \frac{\sin^2{u}}{u^2} e^{i (2 \omega/t) u}$$

Así que estamos mirando a los PIES de $\sin^2{u}/u^2$. Supongamos que usted no sabe esto, pero que no sabes que

$$\int_{-\infty}^{\infty} du \frac{\sin{u}}{u} e^{i y u} = \pi \, \text{rect}(y) = \begin{cases}\\ \pi & |y| \lt 1 \\ 0 & |y| > 1 \end{cases}$$

Los PIES de $\sin^2{u}/u^2$ es evaluada usando el teorema de convolución. Aquí, hemos de convolución de la función de $\text{rect}(y)$ con la misma:

$$\int_{-\infty}^{\infty} du \frac{\sin^2{u}}{u^2} e^{i y u} = \frac{\pi}{2} \int_{-\infty}^{\infty} dy' \, \text{rect}(y')\, \text{rect}(y-y')$$

La última integral se evalúa directamente: toma el producto del área de los dos rectángulos. Un rectángulo ($\text{rect}(y')$) se fija sobre el origen, el otro ($\text{rect}(y-y')$) se centra en $y'=y$. Dibujar una imagen: se debe tener claro que el producto de convolución, es cero cuando $|y| \gt 2$. Para el resto, simplemente calcular el área de la superposición entre los dos rectángulos. El resultado es que, utilizando la expresión original para $\hat{f}(\omega)$ por encima de:

$$\hat{f}(\omega) = \begin{cases}\ \pi (t-|\omega|) & |\omega| \lt t\\ 0 & |\omega| \gt t\end{cases}$$

Answer 2

Aquí es lo que sugirió, con sin éxito como él dio vuelta hacia fuera (véase también los comentarios): considerar $$\oint_C \frac{1-e^{itz}}{z^2}e^{i\omega z}\,dz=0$$ where the contour $C$ is composed of the real intervals $[-R,-r]$ and $[r,R]$ joined by two semicircles in the upper halfplane centered at $0$ and with radii $r$ and $R$. Provided that $\omega > 0$ (which is all you need) you will find that the integral over the large semicircle vanishes in the limit as $R\to\infty$. You need to be more careful about the small semicircle as $r\to0$, but I expect you can fill that in for yourself. (It will not vanish, of course, or else $\hat f$ desaparecería.)

Ahora la integral alrededor del semicírculo pequeño resulta para ser $-\pi t$ $r\to0$ en el límite. Así terminamos con $ #% de $$\int_{-\infty}^\infty\frac{1-\cos tx}{x^2}\cos\omega x\,dx+\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin tx\sin\omega x}{x^2}\,dx=\pi t$% #%, que no es tan útil como había pensado. (La segunda integral debe considerarse un valor principal). Uy.