Cuando resuelvo encontrar la raíz de un número complejo, ¿qué es lo que encuentro exactamente? ¿Se relaciona de alguna manera con el plano complejo? ¿Cuál sería su representación geométrica si la tuviera?
Respuestas
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Antecedentes
La multiplicación de números complejos puede ser pensada como escalada y rotación. Cualquier número complejo (que no sea cero) tiene una representación única en forma polar, es decir, de la forma $re^{i \theta }$ con $r>0$ un número real positivo y $0 \le \theta < 2 \pi $ .
Si $z=re^{i \theta }$ y $w=se^{i \phi }$ entonces $zw = rse^{i( \theta + \phi )}$ . El efecto sobre $z$ de multiplicar por $w$ es escalarlo por $s$ y rotarlo por $ \phi $ sobre el origen. Así que por ejemplo cuando vamos de $w = se^{i \phi }$ a $w^2=s^2e^{2i \phi }$ cuadramos la magnitud y rotamos por $ \phi $ sobre el origen.
Respuesta
Supongamos que $z=re^{i \theta }$ y estamos buscando $w=se^{i \phi }$ de tal manera que $w^2=z$ . Esta será una raíz cuadrada de $z$ . La única posibilidad de $s$ es $ \sqrt {r}$ ya que este es el único número real positivo que se cuadra para dar $r$ . Ahora usted Piensa en que la única posibilidad de $ \phi $ es $ \frac { \theta }{2}$ pero esto no es así. Porque $e^{2i \pi }=1$ también tenemos $$e^{2i( \phi + \pi )} = e^{2i \phi }e^{2i \pi }=e^{2i \phi }$$ así que ambos $ \frac { \theta }{2}$ y $ \frac { \theta }{2}+ \pi $ trabajo. Así que las dos raíces cuadradas de $z=re^{i \theta }$ son $$w_0 = \sqrt {r}e^{i \frac { \theta }{2}} \qquad \text {and} \qquad w_1 = \sqrt {r}e^{i( \frac { \theta }{2}+ \pi )}$$
Más generalmente, el $n^{ \text {th}}$ las raíces de $z=re^{i \theta }$ son $w_0, \dots , w_{n-1}$ donde $$w_k = \sqrt [n]{r}e^{i( \frac { \theta }{n} + \frac {2k \pi }{n})}$$ ¿Por qué? Porque $( \sqrt [n]{r})^n=r$ y así las magnitudes funcionan correctamente, y para cada uno $k$ tenemos $$n \left ( \frac { \theta }{n} + \frac {2k \pi }{n} \right ) = \theta + k \cdot 2 \pi $$ para que $$ \left (e^{i \left ( \frac { \theta }{n} + \frac {2k \pi }{n} \right )} \right )^n = e^{i \theta }(e^{2i \pi })^n = e^{i \theta }$$
Siento que la anotación sea tan fea.
Ilustración
Toma $-1$ como un ejemplo. Escrito en forma polar, esto es sólo $1 \cdot e^{i \pi }$ . Las dos raíces son por lo tanto $$1 \cdot e^{i \frac { \pi }{2}} \qquad \text {and} \qquad 1 \cdot e^{i \frac {3 \pi }{2}}$$ que resultan ser $i$ y $-i$ . Ahora $i^2$ es lo que obtienes cuando escalas $i$ por $|i|=1$ --que no hace nada-- y lo rotan por $ \arg i = \frac { \pi }{2}$ que claramente te da $-1$ . Lo mismo digo, $(-i)^2$ es lo que obtienes cuando escalas $-i$ por $|i|=1$ --que no hace nada-- y lo rotan por $ \arg (-i) = \frac {3 \pi }{2}$ sobre el origen, lo que de nuevo te da claramente $-1$ .
bubba
Puntos
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Supongamos que tienes un número complejo $z$ . Una raíz cuadrada de $z$ es un número complejo $w$ de tal manera que $w^2 = z$ obviamente. Note que escribí " a raíz cuadrada", no " el raíz cuadrada". Así que, ahora pensemos en lo que el cuadrado hace a un número complejo. Esto es más fácil si piensas en el número complejo en forma "polar". Digamos que $w = re^{i \theta }$ donde r es el módulo de $w$ y $ \theta $ es su argumento. Entonces sabemos que $w^2 = r^2e^{2i \theta }$ . En otras palabras, al cuadrado de un número complejo se cuadra su módulo y se duplica su argumento. O mirándolo al revés, puedes obtener una raíz cuadrada de un número complejo tomando la raíz cuadrada de su módulo y dividiendo su argumento por la mitad.
Para un fabuloso tratamiento geométrico de los números complejos, recomiendo encarecidamente este libro de Tristan Needham .
