También podemos sustituir $X$ y $Y$ con su cambio de base a $\bar{k}$ , digamos que $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ . Pero, entonces, podemos sustituirlos por sus variedades clásicas $\overline{X}\left(\bar{k}\right)$ y $\overline{Y}\left(\bar{k}\right)$ . Por lo tanto, asumo que $X$ y $Y$ son variedades clásicas sobre el campo algebraicamente cerrado $k$ .
Es sabido que para $(0,0)\in Y\times Y$ tenemos una descomposición de $T_{(0,0)}(Y\times Y)$ como $T_0 Y\oplus T_0 Y$ donde identificamos las copias de $T_0 Y\subseteq T_{(0,0)}(Y\times Y)$ por la derivada de las inclusiones $\iota_j:Y\hookrightarrow Y\times Y$ enviando $x\mapsto (x,0)$ y $x\mapsto (0,x)$
Ahora, con esto, afirmamos que $d\mu:T_{(0,0)}(Y\times Y)\to T_0 Y$ , donde $\mu:Y\times Y\to Y$ es el mapa de adición, no es más que $(v,w)\mapsto v+w$ cuando identificamos $T_{(0,0)}(Y\times Y)$ con $T_0 Y\oplus T_0 Y$ . Para ver esto, simplemente observamos que
$$d\mu(v,w)=d\mu(d\iota_1(v)+d\iota_2(w))=d\mu(d\iota_1(v))+d\mu(d\iota_2(w))$$
Pero,
$$d\mu\circ d\iota_j=d(\mu\circ \iota_j)=d\text{id}=\text{id}$$
y así
$$d\mu(v,w)=d\mu(d\iota_1(v))+d\mu(d\iota_2(w))=v+w$$
como se desee.
Ahora, consideremos dos mapas $\alpha,\beta:X\to Y$ . Entonces, $\alpha+\beta$ es, por definición, la composición
$$X\xrightarrow{(\alpha,\beta)}Y\times Y\xrightarrow{\mu}Y$$ Así, tenemos
$$d(\alpha+\beta)(v)=d\mu(d(\alpha,\beta)(v))=d\mu(d\alpha(v),d\beta(v))=d\alpha(v)+d\beta(v)$$ que es lo que queríamos.
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¿Dónde está esto en las notas de Milne?
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En la página 33, en la demostración del teorema 7.2, que dice que $n_X\colon X\rightarrow X$ (multiplicación por $n$ ) es una isogenia etale.
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¿Has probado a aplicar sólo la funcionalidad? En concreto, considera el mapa de multiplicación $m:Y\times_k Y\to Y$ . Entonces, de la manera estándar se puede identificar $T_0(Y\times_k Y)=T_0 Y\oplus T_0 Y$ . Así, la derivada $dm$ es la suma de las derivadas de los mapas compuestos $Y\to Y\times_k Y\to Y$ para cada factor, que es el mapa de identidad, y por tanto cuya derivada es también el mapa de identidad. Así que $(dm)(v,w)=v+w$ . Entonces, al darse cuenta de que $\alpha+\beta$ es sólo $X\xrightarrow{\Delta}X\times_k X\xrightarrow{(\alpha,\beta)} Y\times_k Y\xrightarrow{m}Y$ y utilizando la regla de la cadena debería dar el resultado deseado.
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En lo anterior, estaba siendo un poco informal, e identificando $Y$ con su $\bar{k}$ -puntos. Pero, esto es suficiente, por el cambio de base a $\bar{k}$ y aplicando la equivalencia de categorías.
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Esto funciona bien, ¡muchas gracias!
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@IrfanKadikoylu Tal vez puedas responder tú mismo a la pregunta entonces ¡es preferible que las preguntas no queden sin respuesta!
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Por qué no publicas tu comentario como la solución, para que te lleves el crédito por ello. Al fin y al cabo es tu solución :)
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@IrfanKadikoylu Hecho :)