Diferencial de un morfismo de variedades abelianas

Question

Estoy leyendo los apuntes de clase de J.S. Milne sobre variedades abelianas y me he quedado atascado en algún punto.

Dejemos que $\alpha,\beta\colon X\rightarrow Y$ sean homomorfismos de variedades abelianas $X$ y $Y$ . Entonces para los mapas diferenciales tenemos la igualdad: $d\alpha_0+d\beta_0=d(\alpha+\beta)_0$ como mapas entre espacios tangentes $T_0X$ y $T_0 Y$ (Por abuso de notación, $0$ es el elemento de identidad de ambos $X$ y $Y$ ).

En $\mathbb{C}$ es claro por GAGA, pero ¿cómo se podría demostrar esta igualdad sobre un campo arbitrario?

Answer 1

También podemos sustituir $X$ y $Y$ con su cambio de base a $\bar{k}$ , digamos que $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ . Pero, entonces, podemos sustituirlos por sus variedades clásicas $\overline{X}\left(\bar{k}\right)$ y $\overline{Y}\left(\bar{k}\right)$ . Por lo tanto, asumo que $X$ y $Y$ son variedades clásicas sobre el campo algebraicamente cerrado $k$ .

Es sabido que para $(0,0)\in Y\times Y$ tenemos una descomposición de $T_{(0,0)}(Y\times Y)$ como $T_0 Y\oplus T_0 Y$ donde identificamos las copias de $T_0 Y\subseteq T_{(0,0)}(Y\times Y)$ por la derivada de las inclusiones $\iota_j:Y\hookrightarrow Y\times Y$ enviando $x\mapsto (x,0)$ y $x\mapsto (0,x)$

Ahora, con esto, afirmamos que $d\mu:T_{(0,0)}(Y\times Y)\to T_0 Y$ , donde $\mu:Y\times Y\to Y$ es el mapa de adición, no es más que $(v,w)\mapsto v+w$ cuando identificamos $T_{(0,0)}(Y\times Y)$ con $T_0 Y\oplus T_0 Y$ . Para ver esto, simplemente observamos que

$$d\mu(v,w)=d\mu(d\iota_1(v)+d\iota_2(w))=d\mu(d\iota_1(v))+d\mu(d\iota_2(w))$$

Pero,

$$d\mu\circ d\iota_j=d(\mu\circ \iota_j)=d\text{id}=\text{id}$$

y así

$$d\mu(v,w)=d\mu(d\iota_1(v))+d\mu(d\iota_2(w))=v+w$$

como se desee.

Ahora, consideremos dos mapas $\alpha,\beta:X\to Y$ . Entonces, $\alpha+\beta$ es, por definición, la composición

$$X\xrightarrow{(\alpha,\beta)}Y\times Y\xrightarrow{\mu}Y$$ Así, tenemos

$$d(\alpha+\beta)(v)=d\mu(d(\alpha,\beta)(v))=d\mu(d\alpha(v),d\beta(v))=d\alpha(v)+d\beta(v)$$ que es lo que queríamos.