Rango de matrices de la forma $M^\mathrm{T}M$.

Question

El siguiente es un problema de Daniel Norman Introducción al Álgebra Lineal. Considere la posibilidad de una $m\times n$ matriz, $M$, con un rango de $r$. Queremos mostrar que la matriz $M^\mathrm{T}M$ también tiene rango $r$. Ahora, puedo mostrar este hecho, demostrando que el nullspace de $M^\mathrm{T}M$ es el mismo que el nullspace de $M$ mediante el cual el rango de-nulidad teorema se encargará del resto, pero la sugerencia de que el problema se propone algo confuso para mí.

La sugerencia se sugiere considerar en la matriz $N$ obtenido por el intercambio de dos columnas de $M$. Luego se pregunta: "¿Cuál es la relación entre el$N^\mathrm{T}N$$M^\mathrm{T}M$?"

Puedo ver que las dos matrices son ortogonalmente similares, más específicamente, puedo ver que

$$E^\mathrm{T}M^\mathrm{T}ME = N^\mathrm{T}N$$ donde $E = E^\mathrm{T}$ es una primaria de la matriz de intercambio de las columnas en cuestión. Pero yo no veo nada de lo que conduce a una resolución de este problema. ¿Alguien puede ofrecer algo de ayuda?

Answer 1

Creo que el punto es que usted puede hacer más de una operación elemental. Rango $r$ significa que hay exactamente $r$ columnas linealmente independientes. Así que usted puede conseguir una permutación $E$ (ahora un producto de matrices elementales) tal que $N=EME$ tiene su primer $r$ columnas linealmente independientes, y la última, $n-r$ son combinaciones lineales de las primeras $r$.

Por lo tanto, tienen $$ N=[N_1\cdots N_n], $$ donde $N_1,\ldots,N_n$ son las columnas de a $M$ ordenado de tal manera que la primera de las $r$ son linealmente independientes, y la última, $n-r$ son combinaciones lineales de las primeras $r$. Así $$ N=[N_1\cdots N_r\ \sum_{k=1}^r\alpha_{1,k}N_k\cdots\sum_{k=1}^r\alpha_{n-r,k}N_k], $$ y $$ N^TN=\begin{bmatrix} N_1^TN_1&\cdots&N_1^TN_r&\sum_{k=1}^r\alpha_{1,k}N_1^TN_k&\cdots&\sum_{k=1}^r\alpha_{n-r,k}N_1^TN_k\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ N_r^TN_1&\cdots&N_r^TN_r&\sum_{k=1}^r\alpha_{1,k}N_r^TN_k&\cdots&\sum_{k=1}^r\alpha_{n-r,k}N_r^TN_k \end{bmatrix} $$

Vemos que el último $n-r$ columnas son combinaciones lineales de las primeras $r$, por lo que el rango de $N^TN$ es en la mayoría de las $r$.

Pero la primera $r$ columnas son linealmente independientes: si $$ 0=\sum_{k=1}^r\beta_k\begin{bmatrix}N_1^TN_k\\ \vdots \\N_r^TN_k\end{bmatrix} $$ para algunos coeficientes de $\beta_1.\ldots,\beta_r$, luego $$ 0=\sum_{k=1}^r\beta_kN_j^TN_k,\ \ j=1,\ldots,r. $$ Pero, a continuación, $$ \left(\sum_{k=1}^r\beta_kN_k\right)^T\sum_{k=1}^r\beta_kN_k =\sum_{j=1}^r\beta_j\left(\sum_{k=1}^r\beta_kN_j^TN_k\right)=0 $$ Por lo $\sum_{k=1}^r\beta_kN_k=0$, y la forma lineal de la independencia de $N_1,\ldots,N_r$ implica que el $\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_r=0$.

Por lo tanto el rango de $N^TN$ al menos $r$. Pero sabíamos que era también en la mayoría de las $r$, por lo que el rango de $N^TN$$r$. Como el rango es preservada por similitud, el rango de $M^TM$ es igual a la de $N^TN$$r$.