Definición de un cociente izquierdo?

Question

Hay algo que no entiendo sobre la definición de un coset izquierdo.

Sea $\,G\,$ un grupo y $\,H\,$ un subgrupo de $\,G\,$. Entonces, el subconjunto $\,aH=\{ah |h \in H\}\subseteq G\,$ es el coset izquierdo de $\,H\,$ que contiene a $\,a.$

¿Qué es "$\,a\,$" en esta definición? ¿Qué representa? ¿Alguien puede ayudar?

Gracias.

Answer 1

El "$a$" en la definición es cualquier elemento de $G$.

Entonces el coset izquierdo $\,aH\subseteq G\,$ es el conjunto de todos los elementos en el coset izquierdo $aH$, que para un dado $\,a \in G\,$ y cada elemento $h_i \in H$, es el conjunto de todos $ah_i$.

Por ejemplo, toma un subgrupo pequeño de $S_3$ : $\;H = \langle (12)\rangle = \{id, (12)\} \leq S_3.\,$ Hay tres cosets izquierdos (respectivamente derechos) de $\,H$ en $\,S_3$. Uno de los cosets es $\,H\,$ mismo. Los otros cosets son $\,(13)H = (123)H\,$ y $\,(23)H = (132)H$.

Verás que para cualquier subgrupo $\,H \leq G$, cada elemento de $\,G\,$ pertenecerá a uno y solo uno de los cosets izquierdos (respectivamente derechos) de $\,H\,$ en $\,G.\,$ Y la unión de todos los cosets izquierdos de $H$ en $G$ (respectivamente la unión de todos los cosets derechos de $H$ en $G$) es $G$. Es decir, los cosets izquierdos (respectivamente derechos) de $H$ en $G$ particionan $G$.

Puedes encontrar una buena definición de "coset" y algunos ejemplos aquí, también.

Answer 2

$a$ puede ser cualquier elemento de $G$. Por ejemplo, tomemos las simetrías del cuadrado, $D_4$, y un subgrupo de éste: $H = \{e, r_1, r_2, r_3\}$. Escogeremos $f_v$ para nuestro $g$. $gH = \{ gh : h \in H\} = \{ f_ve, f_vr_1, f_vr_2, f_vr_3 \} = \{ f_v, f_d, f_h, f_c \}$. $f_v$ convierte el grupo de rotaciones en un conjunto de reflejos (que no es un grupo).