Demostrar que no hay números primos en la secuencia de $a_n=10017,100117,1001117,10011117, \dots$

Question

Definir una secuencia como $a_n=10017,100117,1001117,10011117$. (El $nth$ plazo ha $n$, después de los dos ceros.)

Suponemos que no existen números primos en la secuencia. He utilizado wolfram para encontrar los primeros factorisations:

$10017=3^3 \cdot 7 \cdot 53$

$100117=53\cdot 1889$

$1001117=13 \cdot 53\cdot1453$ y así sucesivamente.

Me he dado cuenta de los primeros términos tienen un factor de $53$, por lo que el problema puede ser reformulado como muestra de que todos los números de esta forma tienen un factor de $53$. Sin embargo, yo no sé cómo demostrar que un enunciado como este. Tampoco estoy seguro de que todos los términos de hacer tiene un factor de $53$.

Empecé escribiendo el $nth$ término de la secuencia, como

$a_n=10^{n+3}+10^n+10^{n-1}+10^{n-2}+10^{n-3}+\cdots+10^3+10^2+10^1+7$ , pero no se puede continuar con la prueba.

Answer 1

Es tan sencillo como $$a_{n+1}=10a_n-53$$

Answer 2

El uso de la inducción con el fin de completar la (excelente) por sugerencia de @Miguel.

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En primer lugar, demostrar que esto es cierto para $n=1$:

$a_1=53\cdot189$

Segundo, se supone que esto es cierto para $n$:

$a_n=53k$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+1$:

$a_{n+1}=$

$10\cdot\color\red{a_n}-53=$

$10\cdot\color\red{53k}-53=$

$530k-53=$

$53(10k-1)$

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Por favor, tenga en cuenta que la hipótesis se utiliza sólo en la parte marcada con rojo.

Answer 3

La secuencia está dada por $$a_n = 10^{n+3}+10\cdot \frac{10^n-1}{9}+7$$ Entonces $$9a_n = 9\cdot10^{n+3}+10\cdot (10^n-1)+63 = 9010\cdot 10^n+53 = 53\cdot(170 \cdot 10^n+1)$$ Por lo tanto, $53$ divide $9a_n$. Desde $53$ no divide $9$, $53$ divide $a_n$, por Euclides del lexema. (No es necesario usar ese $53$ es primo, sólo que $9$ $53$ son coprime.)

Answer 4

Otra manera de encontrar el inductivo relación ya citada, de un personaje de la manipulación del punto de vista:

Considere la posibilidad de cualquier número en la secuencia, $a_n$. Para crear el siguiente número, usted debe:

1. Restar $17$, dejando un número que termina en dos ceros;
2. Dividir por $10$, cayendo uno de la terminal de ceros;
3. Agregar $1$, cambiando el terminal restante de cero a una $1$;
4. Multiplicar por $100$, pegando un terminal doble cero;
5. Agregar $17$, la conversión de la terminal de doble cero de vuelta a $17$

Expresando este procedimiento de manera algebraica, y simplificando: $$a_{n+1}=\left (\frac{a_n-17}{10}+1 \right ) \times 100+17=10a_n-53$$