En un espacio métrico separable (X,d) la convergencia débil de las medidas de probabilidad es equivalente a la convergencia con respecto a la métrica de Lévy-Prokhorov definida por β(μ,ν)=sup donde \|f||_{BL}=\sup_x |f(x)|+\sup_{x\neq y}|f(x)-f(y)|/d(x,y).
Véase el teorema 11.3.3 de la obra de R. M. Dudley Análisis real y probabilidad .
Demostremos que B=\{\nu: \beta(\mu,\nu)\leq\varepsilon \} es un conjunto convexo. Sea \nu_1,\nu_2\in B , \alpha\in(0,1) y f con \|f\|_{BL}\leq 1 . Entonces \begin {eqnarray*} \int f d( \mu -[ \alpha\nu_1 +(1- \alpha ) \nu_2 ])&=& \alpha\int f d( \mu - \nu_1 )+(1- \alpha ) \int f d( \mu - \nu_2 ) \\ [5pt] & \leq & \alpha\beta ( \mu , \nu_1 )+(1- \alpha ) \beta ( \mu , \nu_2 ) \\ [5pt] & \leq & \alpha \varepsilon +(1- \alpha ) \varepsilon\\ [5pt] &=& \varepsilon. \end {eqnarray*} Tomando el supremum sobre tales f da \beta(\mu,\alpha\nu_1+(1-\alpha)\nu_2)\leq \varepsilon por lo que la bola cerrada es convexa.
El balón abierto \{\nu: \beta(\mu,\nu)<\varepsilon\} es la unión creciente de los conjuntos convexos \{\nu: \beta(\mu,\nu)\leq\varepsilon-1/n\} , para n>1/\varepsilon y por lo tanto es convexo.