Metrización de la topología débil* en un conjunto de medidas de probabilidad

Question

Dejemos que $X$ denotan un espacio métrico. Se puede suponer que $X$ es polaco si eso ayuda, pero estaba tratando de evitar asumir que $X$ es compacto. Sea $P(X)$ denotan el conjunto de medidas de probabilidad de Borel sobre $X$ . La topología débil* en $P(X)$ se define como de costumbre: una red $(p_{\alpha})$ en $P(X)$ converge a $p \in P(X)$ si $|\int fdp_{\alpha}-\int fdp|$ converge a $0$ .

Pregunta: ¿Existe alguna métrica que meta la topología débil* en $P(X)$ y tiene bolas abiertas convexas?

Answer 1

En un espacio métrico separable $(X,d)$ la convergencia débil de las medidas de probabilidad es equivalente a la convergencia con respecto a la métrica de Lévy-Prokhorov definida por $$ \beta(\mu,\nu) = \sup \left( \int_X f\ d(\mu-\nu): \|f\|_{BL}\leq 1\right),$$ donde $$\|f||_{BL}=\sup_x |f(x)|+\sup_{x\neq y}|f(x)-f(y)|/d(x,y).$$

Véase el teorema 11.3.3 de la obra de R. M. Dudley Análisis real y probabilidad .

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Demostremos que $B=\{\nu: \beta(\mu,\nu)\leq\varepsilon \}$ es un conjunto convexo. Sea $\nu_1,\nu_2\in B$ , $\alpha\in(0,1)$ y $f$ con $\|f\|_{BL}\leq 1$ . Entonces \begin {eqnarray*} \int f d( \mu -[ \alpha\nu_1 +(1- \alpha ) \nu_2 ])&=& \alpha\int f d( \mu - \nu_1 )+(1- \alpha ) \int f d( \mu - \nu_2 ) \\ [5pt] & \leq & \alpha\beta ( \mu , \nu_1 )+(1- \alpha ) \beta ( \mu , \nu_2 ) \\ [5pt] & \leq & \alpha \varepsilon +(1- \alpha ) \varepsilon\\ [5pt] &=& \varepsilon. \end {eqnarray*} Tomando el supremum sobre tales $f$ da $\beta(\mu,\alpha\nu_1+(1-\alpha)\nu_2)\leq \varepsilon$ por lo que la bola cerrada es convexa.

El balón abierto $\{\nu: \beta(\mu,\nu)<\varepsilon\}$ es la unión creciente de los conjuntos convexos $\{\nu: \beta(\mu,\nu)\leq\varepsilon-1/n\}$ , para $n>1/\varepsilon$ y por lo tanto es convexo.