Prueba de continuidad uniforme

Question

Me parece que han llegado a un callejón sin salida en la prueba siguiente.

Definir $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ por:

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Muestran que $f$ es uniformemente continua.

Mi prueba:

Que $x_{0}\in \mathbb{R}$.

Que $\epsilon >0$

Elegir $\delta = ?$

Entonces, $x\in \mathbb{R}$, que $|x-x_{0}|<\delta$, tenemos:

|$f(x)-f(x_{0})|=|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x_{0}^2}|=|\frac{x_{0}^2-x^2}{(1+x^2)(1+x_{0}^2)}|=\frac{|x_{0}-x||x_{0}+x|}{(1+x^2)(1+x_{0}^2)}\le \delta|x+x_{0}|$

La última línea utiliza el hecho de que $x^2, x_{0}^2\ge 0$. ¿Cómo puedo terminar la prueba?

Answer 1

Sugerencia:

Demostrar este teorema y lo utilizan,

Teorema de la Si $f$ continua en $[a,\infty)$ $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existen y, luego $f$ uniformemente continua en $[a,\infty)$

Answer 2

Escriba $$ | f (x)-f (y) | = \left|\frac 1 {1 + x ^ 2}-\frac 1{1+y^2}\right|=\left|\frac{x^2-y^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \right|\leq | x-y | \frac {| x | + | y |} {(1+x^2)(1+y^2)} \\\ \leq \frac{|x-y|} 2\frac{x^2+1+y^2+1}{(1+x^2)(1+y^2)} \leq \frac{|x-y|} 2\left (\frac 1 {1 + y ^ 2} + \frac 1 {1 + x ^ 2} \right) \leq | x-y | $$ y ahora el $\delta$ tienes que elegir es evidente. De hecho, $f$ es lipschitz continuo.