El plano proyectivo Real es un colector de 2 dimensiones

Question

¿Para demostrar esta solo tengo que demostrar que $P^2$ es Hausdorff y es localmente euclidiana? Puedo mostrar que el espacio es Hausdorff pero tengo un pequeño problemas demostrando que es localmente euclidiano.

Answer 1

El real proyectiva del plano, $\mathbb{R}P^2$, es el espacio de líneas a través de la procedencia en $\mathbb{R}^3$, así que es natural para el uso homogéneo de las coordenadas, donde $(x, y, z) \sim (tx, ty, tz)$ cualquier $t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Podemos gestionar para cubrir el plano proyectivo con tres tablas, una para cada coordenada en $\mathbb{R}^3$. Aquí está uno de ellos. Deje $U_x \subset \mathbb{R}P^2$ denota el subconjunto de puntos en $\mathbb{R}^3$ con un valor distinto de cero $x$-coordinar.

$$U_x = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x \ne 0\}$$

Considerando estos como coordenadas homogéneas, sin embargo, $$(x, y, z) \sim \left(1, \frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right).$$

Geométricamente, esto proyectos de cualquier línea que atraviesa el plano de $x = 1$ en su punto de intersección con el plano. Listo, este es nuestro primer gráfico.

$$\begin{align} \psi_x: U_x &\to \mathbb{R}^2 \\ (x,y,z) &\mapsto \left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right) \end{align}$$

Aviso que a la inversa, $\psi_x^{-1}: \mathbb{R}^2 \to U_x$ está dado por $(u, v) \mapsto (1, u, v)$.

En un sentido estrictamente análoga, podemos construir gráficos para abrir conjuntos de $U_y$$U_z$. Para unir estos gráficos juntos en un atlas, tenemos que buscar en las diversas composiciones que surgen en los que los gráficos de superposición, la asignación de abrir los subconjuntos del espacio Euclidiano en sí mismo.

$$\begin{array}{*{5}{c}} \psi_x(U_x \cap U_y) &\to& U_x \cap U_y &\to& \psi_y(U_x \cap U_y) \\ (u, v) &\mapsto& (1, u, v) &\mapsto& \left( \frac{1}{u}, \frac{v}{u}\right) \end{array}$$

Esta composición es un diffeomorphism, es decir, que su suave y también lo es su inversa. Esto es lo que hace a $\mathbb{R}P^2$ en un buen colector. (Puede ser que usted está interesado sólo en el plano proyectivo como topológico, colector, en el que caso de que usted está interesado sólo en estos mapas se homeomorphisms.)