Cómo puedo probar $\log_2{(1+x)} \geq {x}$ $0<x<1$

Question

Cómo puedo probar la desigualdad siguiente para $0<x<1$ % $ $$\log_2{(1+x)} \geq {x}$

He intentado utilizar $\ln(1+x) \geq x-\frac{x^2}{2}$ $x\geq 0$ y convertir el $\ln$ $\log_2$ para probar, pero no funciona. ¿Alguna idea? ¿Existe una forma generalizada?

Necesito un analítico prueba, bosquejo ni mirando el gráfico. Gracias.

Answer 1

La función logaritmo es cóncava.

Por lo tanto, se encuentra por encima de cualquier línea secante.

En particular, en $[0,1]$, la función $x$ es un secante para $\log_2(1+x)$.

Por lo tanto, $\log_2(1+x)\ge x$ $[0,1]$.

Answer 2

Sugerencia: Exponentiate la desigualdad equivalente forma $1+x\ge2^x$ y bosquejo el % de dos gráficos $y=1+x$y $y=2^x$. Tenga en cuenta que $(x,y)=(0,1)$ y $(1,2)$ son comunes a ambos gráficos.

Answer 3

Consideran la primera derivada: $(\frac{\ln(1+x)}{\ln2})' = \frac{1}{\ln2(1+x)} > 0$ $0<x<1$, por lo que nuestra función es aumento. $x$ incease también, así que. Sólo debemos comprobar lo que será en un punto. Por ejemplo $x = 3$ segunda función es más grande, así sucesivamente $0 < x < 1$ la primera de ellas será mayor que el segundo (debido a de intersecta en $x = 1$).

Answer 4

Según Barry, convertir a la forma equivalente $1+x \geq 2^x$. Entonces, considere la función $f(x)=1+x-2^x$. Tomando dos derivados consigue $f''(x)=-2^x (\ln(2))^2$ que siempre es negativo. Por lo tanto $f$ es cóncava. Desde $f(0)=0=f(1)$, se deduce que el $f$ debe ser positivo en $(0,1)$, que es lo que querías.

Answer 5

La clave es la derivada de la función $f(x)=\log_{2}(1+x)-x$ $g(x)=\log_2 e\cdot\frac{1}{1+x} - 1$. Disminuye la función $g(x)$ $x\in [0, 1]$, y el valor es de positivo a negativo. Por lo que es el mínimo de $f(x)$ $0$ y $1$.