Distancia racional de un triángulo equilátero

Question

Hay una buena prueba para el siguiente hecho?

En un plano, no existe un cuadrado tal que sus vértices están a una distancia racional de cada vértice de algunos triángulo equilátero.

Lo que si reemplazamos la plaza con un cuadrilátero cíclico?

Bien, parece que la siguiente idea para la primera parte de la pregunta: Es bien sabido que no hay ningún triángulo equilátero en el plano Cartesiano con rational coordenadas. Deje $(x,y)$ ser racional distancia desde el cuadrado con vértices, $(0,0), (0,a), (a,a), (a,0)$. Entonces es fácil ver que $2a(x-a)$ es racional. Por lo tanto, si el sistema de coordenadas es escalado por un factor de $a$ y el origen se desplaza a $(a,a)$, las coordenadas se convierten racional.

Answer 1

Resulta ser falso para el cuadrilátero cíclico general. Que el triángulo tiene unidad de longitud de lado. Lo tomar punto $P$ en el circumcircle que $PA=\frac{3}{7}; PB=\frac{5}{7}$ (mienten en un círculo, que es fácil de probar de la regla del coseno). Por el teorema de Pompieu, $PC=\frac{8}{7}$. Condiciones de tomar puntos de $Q,R,S$ con el mismo pero permitidos distancias y tenemos un cuadrilátero satisfacer tuyo.