Banach fijada Teorema de punto y $\sum d(T^n(x),T^n(y))<\infty$

Question

Sea $T:X \to X$ un mapa en un espacio métrico completo de no vacío. Suponer que todos $x$ y $y$ $X$, $\sum_n d(T^n(x),T^n(y))<\infty$. $T$ Tiene un único punto fijo.

Guess: Supongo que la existencia y unicidad de un punto fijo pueden mostrarse directamente con el teorema de punto fijo de Banach estándar, por una elección adecuada de la métrica que hace el mapa $T$ una contracción.

Answer 1

¿Por qué no lo siguiente un contraejemplo?

Que $X=\{0\}\cup\{1/2^n:n\in\mathbb{N}\}$ y dotar a $X$ con la métrica de valor absoluto. Entonces $X$ es completa. Definición de $T:X\to X$ $T(0)=1/2$ y $T(1/2^n)=1/2^{n+1}$. $T$ No tiene ningún punto fijo. $|T^n(1/2^l)-T^n(1/2^m)|\leq1/2^n$ Y cada punto tiene ahora este formulario después de al menos una aplicación de $T$. Por lo que también debe tener la condición de sumabilidad.

Answer 2

Estoy suponiendo mapa significa función continua. De lo contrario la respuesta de Michael Greinecker da un contraejemplo.

Existencia:

Tomar cualquier punto $x_0 \in X$ y definen inductivamente $x_{n+1} := T(x_n)$. Dadas $\epsilon>0$ y % suponiendo que $m>n>N$, tenemos $$d(x_n,x_m) \leq \sum_{k=0}^{m-n-1} d(x_{n+k}, x_{n+k+1}) \leq \sum_{k=0}^\infty d(x_{N+k}, x_{N+k+1}) = \sum_{k=N}^\infty d(T^k(x_0),T^k(x_1)) \leq \epsilon$$ for sufficiently large $N$. By completeness there exists $\bar{x}\in tenemos $ with $ $ X$ and by continuity of $\lim_{n\to\infty}x_n=\bar{x}$$T(\bar{x}) = T(\lim_{n\to \infty} x_n) = \lim_{n\to \infty}T(x_n) = \lim_{n\to \infty} x_{n+1} = \bar{x}.$T$

Singularidad:

Que $\bar{x}$ y $\tilde{x}$ fijar puntos de $T$, entonces el $\sum_{k=0}^\infty d(T^k(\bar{x}),T^k(\tilde{x})) = \sum_{k=0}^\infty d(\bar{x},\tilde{x}) < \infty$, que $d(\bar{x},\tilde{x})=0$, por lo tanto, $\bar{x} = \tilde{x}$.