Aquí es un muy handwavy argumento de que no existe ninguno. Hay $9 \cdot 10^{k-1}$ números con $k$ dígitos, de los cuales, $\sqrt{10^k}-\sqrt{10^{k-1}}=10^{\frac k2}-10^{\frac{k-1}2}=(\sqrt{10}-1)10^{\frac{k-1}2}$ son cuadrados. Nos imaginamos que los números de interés, en forma aleatoria, plazas o no, por lo que un $k$ número de dígitos tiene probabilidad de $\frac {\sqrt{10}-1}910^{-\frac{k-1}2}$ de ser un cuadrado.
$n^m$ $m \log_{10}n$ dígitos y el promedio de los dígitos es $4.5$, por lo que la suma de dígitos es acerca de $4.5m\log_{10}n$, lo que ha $\log_{10}(4.5m\log_{10}n)=\log_{10}m+c$ dígitos para un adecuado $c$. La probabilidad de la suma de dígitos a ser cuadrado es, a continuación,$\frac{\sqrt{10}-1}9\cdot 10^{-\frac {\log_{10}m+c}2}=\frac{\sqrt{10}-1}9\cdot10^{-\frac c2}\cdot m^{-\frac 12}$. La suma de estos como $m$ $1$ $\infty$diverge, por lo que esperamos infinitamente muchos casos en los que la suma de los dígitos de $n^m$ es un cuadrado.
Por supuesto, alguien podría encontrar un número donde hay un patrón recurrente para hacer la suma de los dígitos rectangulares. Las plazas $\bmod 9$ $0,1,4,7$ así que si hubo una serie que podría probar el dígito de las sumas de las potencias son siempre algo más que tendría una respuesta. Por ejemplo, el dígito sumas de $10^m$ siempre $1$. En estos casos $1$ es un cuadrado, así que esto no es un problema.
