La paradoja de Aquiles

Question

Sé que es una pregunta muy antigua pero todavía no encuentro ninguna solución satisfactoria para La paradoja de Aquiles . Por favor, explíqueme los fundamentos de la paradoja de Aquiles en términos de distancia recorrida por la etapa. Tenga en cuenta que se puede resolver fácilmente en términos de tiempo, pero si usted comienza a analizar este evento en términos de tiempo, entonces no hay ninguna paradoja. Así que por favor, explique en términos de distancias por etapas solamente.

Answer 1

Esto es bastante sencillo siempre y cuando se divida en pasos.

Que la tortuga viaje con velocidad $v_t$ y Archilles con velocidad $v$ . Dividimos los pasos que da Archilles como \begin{equation} d_A = d_0 + d _1 + ... \end{equation} donde $d_i $ es la distancia recorrida en un solo paso. La distancia inicial $d_0 $ es entonces sólo la separación inicial entre Archilles y la tortuga. Denotamos $\Delta t _i $ como el tiempo de paso $i $ . La distancia $d_1 $ es la distancia que la tortuga consiguió pisar mientras Archilles alcanzaba la posición inicial de la tortuga. Viene dado por \begin{equation} d_1=v_t \Delta t_1 =v_t \frac{d_0}{v} \end{equation} Del mismo modo, la distancia $d_2 $ viene dada por \begin{equation} d_2=v_t \Delta t_2 = v_t \frac{d_1 }{v} = \left(\frac{v_t}{v} \right)^2 d_0 \end{equation} Es fácil ver que esta tendencia continuará: \begin{align} d_A &= d_0 + \frac{v _t }{v} d_0 +\left(\frac{v_t}{v} \right)^2 d_0 + ... \\ &= d _0 \left( 1 + \frac{ v _t }{ v} + \left( \frac{ v _t }{ v } \right) ^2 + ...\right) \end{align} En los paréntesis tenemos una serie geométrica. Si $v_t\le v$ entonces, \begin{align} d _ A & = d_0\frac{1}{ 1 - v _t / v } \end{align} Esto es finito (y por lo tanto Archilles puede alcanzar a la tortuga) siempre y cuando $v_t <v $ . La aparente paradoja es que Archilles necesita dar un número infinito de pasos. Sin embargo, el hecho de tener que dar un número infinito de pasos no significa que se necesite una distancia infinita (o un tiempo infinito). Una serie infinita puede converger, como lo hace ésta, o divergir.

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También me parece interesante resolver este problema de la manera más sencilla, evitando dividirlo en pasos. Para Archilles y la tortuga representativamente tenemos, \begin{equation} d_A=\frac{v}{t}\, , \quad d_t= \frac{v_t}{t}+d_0 \end{equation} Configuración $d_A = d_t $ y resolviendo estas ecuaciones se obtiene \begin{equation} d_A=d_0 \frac{1}{1-v_t/v} \end{equation} según sea necesario.

Answer 2

No sé si responderé a lo que quieres, pero es imposible no hablar del tiempo; el punto de la paradoja es que tanto el Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, ¿no? ahora bien, en la forma en que está planteada la paradoja, se dice que a cada "paso" la tortuga avanza "x" espacio y el Aquiles avanzará sólo una fracción de "x" espacio. La falacia de la paradoja reside en que el enunciado desplaza el concepto de tiempo del tiempo real al "tiempo-paso". Así, Aquiles de hecho alcanzará a la tortuga sólo en el infinito, pero esto no ocurre en el tiempo real, sólo en los pasos matemáticos, que son cada vez más pequeños. El lugar donde se encontrarán puede resolverse como el resultado de una serie geométrica (ver respuesta de JeffDror).

Answer 3

Es sólo una paradoja, es utilizar la debilidad de la lógica humana sobre el cálculo infinito en un tiempo limitado. Te convence de que tienes que cubrir la mitad de la distancia entre Aquiles y la tortuga en cada instante de tiempo. Si piensas más profundamente, te darás cuenta de que la mayoría de los conceptos como tiempo, movimiento, distancia, instante, velocidad pierden su significado, sus definiciones son relativas entre sí de hecho.

Answer 4

No es newtoniano, pero sigue siendo relevante:

La paradoja de Zenón se basa en la premisa de que la distancia entre Aquiles y la tortuga es infinitamente divisible. En teoría, la Longitud de Planck es un límite inferior de las distancias medibles. Si esto es cierto, eventualmente Aquiles debe mover más de la mitad de la distancia a un punto arbitrario entre él y la tortuga, si es que se mueve.

Answer 5

Cuando usamos en matemáticas 1/2+1/4+... es 1, porque podemos sumar números infinitamente. Pero eso Aquiles no lo puede hacer, porque no tiene tiempo infinito. En realidad algo infinitamente cercano a algún número es ese número. Imagina que quieres aplaudir - sabes que tardas 1 segundo en juntar las manos (Eso es la distancia total). Entonces -¿cuánto tiempo se necesita para conseguir sus manos en la mitad de esta distancia? La mitad del tiempo. ¿Cuánto tiempo se tarda en juntar las manos en un cuarto de esta distancia? Un cuarto de tiempo. Y esa es la prueba, que 1/2+1/4+... es 1, porque aplaudir es posible.