a) Deje $\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset S_X$ ser una secuencia $\Vert z_n-z_m\Vert\geq 1/2$$n\neq m$. Esta secuencia existen gracias a Riesz lema. Desde $X$ es el reflexivo de su unidad de bola es débilmente compacto, por lo que podemos extraer débilmente convergente subsequence $\{z_{n(k)}\}_{k\in\mathbb{N}}$. Definir $y_k=z_{n(2k+1)}-z_{n(2k)}$ por cada $k\in\mathbb{N}$. Claramente $\{y_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ converge débilmente a $0$. Definir $x_k=\Vert y_k\Vert^{-1} y_k$. Por construcción $1/2\leq\Vert y_k\Vert\leq 2$ todos los $k\in\mathbb{N}$, $\{x_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ también converge débilmente a $0$ y lo que es más $\Vert x_k\Vert=1$ todos los $k\in\mathbb{N}$
b) Vamos a $i:X\to X^{**}$ ser el natural de la incrustación en el segundo doble. De la asunción de la familia de operadores de $\{i(x_n)\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{B}(X^*,\mathbb{C})$ es pointwise delimitada de la familia, así que por Banach-Steinhaus teorema es uniformemente norma acotada por una constante $C>0$. Por supuesto tenemos bien definida la función $\varphi(f):=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}i(x_n)(f)$.
Claramente $\varphi$ es lineal, pero también es limitada porque $|\varphi(f)|
=\lim_{n\to\infty}|i(x_n)(f)|\leq\limsup_{n\to\infty}\Vert i(x_n)\Vert\Vert f\Vert\leq C\Vert f\Vert$. Thus $\varphi\in X^{**}$. Since $X$ is reflexive, we have $x\in X$ such that $\varphi=i(x)$. Now for all $f\X^*$ we have $f(x)=i(x)(f)=\varphi(f)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)$ i.e. $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ weakly converges to $x$.
c) Deje $X=c_0$ $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}$ ser su base natural. Definir $x=\sum_{k=1}^n e_k$, entonces para todos los $f\in c_0^*\cong_1 \ell_1$ tenemos $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=\sum_{n=1}^\infty f_n\in\mathbb{C}$, aunque no es $x\in c_0$ tal que $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n$ todos los $f\in c_0^*$. De hecho, la última igualdad implicaría $x(k)=1$ todos los $k\in\mathbb{N}$ lo cual es imposible, ya que $x\in c_0$.
