¿Por qué la superficie de la esfera no es un espacio euclidiano?

Question

En wiki, veo una descripción en manifold:

"Aunque una variedad se parezca a un espacio euclidiano cerca de cada punto, globalmente puede no serlo. Por ejemplo, el la superficie de la esfera no es un espacio euclidiano pero en una región puede trazarse mediante proyecciones cartográficas de la región en el plano euclidiano".

Mis preguntas:

1. ¿Por qué la superficie de la esfera no es un espacio euclidiano? (Creo que los puntos de la superficie pueden representarse por $x$ , $y$ , $z$ por ejemplo)

2. ¿Qué significa después de "pero"?
   en una "región", ¿es esta región diferente de la superficie de la esfera?

Answer 1

Posiblemente lo que te confunde es que la afirmación se refiere a la superficie de la esfera, no al espacio en el que se asienta la esfera. Si ignoramos los efectos relativistas (y el hecho de que la Tierra no es exactamente una esfera), sí, la esfera está en un espacio tridimensional euclidiano. En ese espacio se aplican todas las conveniencias euclidianas. Pero la afirmación no se refería a la esfera, ni al espacio en el que se encuentra: se refería al superficie de la esfera. La superficie de la esfera es un espacio bidimensional, no tridimensional, y los puntos sobre ella sólo necesitan 2 coordenadas (latitud y longitud, por ejemplo).

Para ver la diferencia, considere una línea recta entre Londres y Nueva York. En el espacio tridimensional euclidiano en el que está inmersa la Tierra, esa línea recta va a través de la Tierra. Pero si sólo estamos considerando la superficie de la Tierra, esa línea no existe. La línea recta (distancia más corta entre dos puntos) sobre la superficie se encuentra a lo largo del gran círculo. Ahora considere trazar las líneas desde Nueva York y Londres hasta, digamos, Ciudad del Cabo, para formar un triángulo. Sí, si dibujas las líneas a través de la Tierra obtendrás un bonito triángulo euclidiano con ángulos que suman 180 grados. Pero esas líneas no existen en el espacio que estás considerando: sólo puedes dibujar líneas sobre la superficie de la Tierra. Los ángulos del triángulo dibujado en el superficie de la Tierra suman más que 180 grados, por lo que el espacio debe ser no euclidiano.

Edición: La parte que sigue al "pero" parece decir que, para la mayoría de los propósitos, se puede tratar una pequeña parte de la Tierra como si fuera plana. Probablemente no tengas que preocuparte por la curvatura de la Tierra cuando veas un callejero de tu ciudad.

Edición 2: He modificado un poco la terminología para simplificar. Para ser precisos, sólo la superficie es una esfera. Si queremos incluir también el interior, deberíamos llamarla bola.

Answer 2

Intuitivamente, la geometría euclidiana es plana. La esfera, globalmente, es evidente que no es plana. Pero localmente, si arrancas un trocito de ella es bastante plana.

Más exactamente, en un espacio euclidiano se cumple el quinto postulado de Euclides. Por lo tanto, dada una recta y un punto que no está en esa recta, existe una única paralela a la recta que pasa por ese punto. Esto falla en la esfera, ya que no existen líneas paralelas. Cada dos rectas (donde recta debe interpretarse como geodésica, es decir, recta en relación con la geometría curva de la esfera, por lo que las rectas se corresponden con los grandes círculos) se cruzan. Sin embargo, la geometría de un pequeño trozo de esfera es localmente euclidiana, es decir, se parece y se comporta como un pequeño trozo de esfera. $\mathbb R^2$ .

Answer 3

(1) Topológicamente, el espacio euclidiano es retráctil hasta un punto. Esto significa que existe un mapa continuo: $f:\mathbb R^n\times I\to \mathbb R^n$ tal que $f(\textbf v,0)=\textbf v$ y $f(\textbf v,1)=\textbf 0$ .

Una esfera no es retráctil hasta un punto. No existe un mapa similar $f:S^{n}\times I\to S^{n}$ (no es un resultado trivial.) Entonces $S^{n}$ no es topológicamente igual a cualquier $\mathbb R^{m}$ .

(2) Cualquier punto de $S^{n}$ tiene una vecindad que es homeomórfica a algún subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ . Un homeomorfismo de este tipo a partir de un subconjunto de $\mathbb R^n$ a un subconjunto abierto de un espacio $M$ suele denominarse "gráfico" porque proporciona un sistema de coordenadas en ese subconjunto abierto.

Answer 4

Una forma de entender esta afirmación es la siguiente:

Si se recorta literalmente un pequeño disco de la esfera, se puede estirar (aunque infinitamente) para que parezca un plano (espacio euclidiano 2).

Sin embargo, no importa cómo deformes/estires toda la esfera, no hay forma de convertirla en un plano.

Answer 5

A menudo se denomina "bola" al INTERIOR de una esfera y "esfera" a la superficie. La superficie de una esfera no es euclidiana porque los análogos más cercanos a las líneas rectas, crean círculos, se cruzan DOS VECES y ningún gran círculo puede ser paralelo. Además, la circunferencia de cualquier círculo en la superficie de una esfera NO es 2 *pi * el radio, sino que siempre es MENOR.