¿Cómo es

Question

Si $\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}\cdots=\frac{\pi^4}{90}$, entonces encontrar el valor de $\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}\cdots$

En primer lugar ¿cómo es $\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}\cdots=\frac{\pi^4}{90}$?

En segundo lugar, pensé en $$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}\cdots=\frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{6^4}\cdots=\frac{S}{2}$ $ pero la respuesta dada es $\frac{\pi^4}{96}$. ¿Cuál es el error en esto?

Editar:

He encontrado una manera de obtener la respuesta. $$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}\cdots=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}\cdots+\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}\cdots\right)$$ $$S=S_1+\frac{1}{2^4}S$$

Answer 1

Si usted ya sabe o toma como dado el primer resultado, luego

$$\frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^4}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^4}=\frac1{16}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^4}\implies$$

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^4}=\left(1-\frac1{16}\right)\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{96}$$

El primer resultado aunque forma sobre el nivel de secundaria, al menos para mí.

Answer 2

Aviso:

• $$\sum_{n=a}^{m}\frac{b}{n^c}=b\left[\zeta(c,a)-\zeta(c,m+1)\right]$$
• $$\sum_{n=a}^{\infty}\frac{b}{n^c}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=a}^{m}\frac{b}{n^c}=\lim_{m\to\infty}b\left[\zeta(c,a)-\zeta(c,m+1)\right]=b\zeta(c,a)\space\text{ when }b=0\vee\Re(c)>1$$

Así, cuando resolvemos tu pregunta:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^4}=\lim_{m\to\infty}\left[\zeta(4,1)-\zeta(4,m+1)\right]=\zeta(4,1)=\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$$