Es $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{[1,2, \cdots, n]}{3^n} = 0$ ?

Question

Estoy tratando de estudiar la velocidad creciente del l.c.m de $\{1,2,\cdots,n\}$ .

Es fácil ver que aumenta más rápidamente que $n$ y más lentamente que $n!$ . Pero ¿qué tal $c^n$ para una constante positiva $c$ ?

Answer 1

El teorema de los números primos dice que, en la medida en que tenga sentido, su LCM es aproximadamente $$ e^n. $$ De hecho, lo único que se ha demostrado es que $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \; \; \; \frac{\log (\operatorname{lcm}(1,2,3,...,n))}{n} = 1 $$

En efecto, tenemos Segunda función de Chebyshev $\psi $ y $$ \psi(n) = \log (\operatorname{lcm}(1,2,3,...,n)) $$

Hardy y Wright demuestran que el Teorema de los Números Primos es equivalente a la afirmación de que $$ \psi(x) \sim x, $$ Significado $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\psi(x)}{x} = 1. $$ Luego lo demuestran como su Teorema 434.

Combinando algunos resultados de Rosser y Schoenfeld (1962), para $x \geq 41,$ $$ 1 - \frac{1}{\log x} \; \; \; \; < \; \frac{\psi(x)}{x} \; < \; \; \; \; 1 + \frac{1}{2 \log x} + \frac{1.42620}{\sqrt x}$$

Debo subrayar que sabemos muy poco sobre $$ \frac{e^{\psi(x)}}{e^x}, $$ que a veces es enorme y a veces diminuta.

Answer 2

Podemos escribir $\text{LCM}\{1,2,...,n\}=\prod_{p\in\text{primes}}\ p^{\lfloor \log_p n\rfloor}$ . Si necesitas algo de intuición para esto, toma cada primo y la mayor potencia $\le n$ y ver por qué el producto de estos primos hasta $n$ es exactamente el $\text{LCM}$ de $1,2,...,n$ .

Tenga en cuenta que $\text{LCM}\{1,2,...,n\}=\prod_{p\in\text{primes}}\ p^{\lfloor \log_p n\rfloor}\le \prod_{p\in\text{primes}} n \thicksim n^{n/\ln n}$ por el Teorema de los Números Primos.

Siguiendo, $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\text{LCM}\{1,2,...,n\}}{3^n}\le \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{n/\ln n}}{3^n}=0$$ Como cada término es positivo, por el teorema de squeeze, $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\text{LCM}\{1,2,...,n\}}{3^n}=0$ .