16 votos

Una nueva constante?

Yo estaba experimentando en Wolfram Alpha , la respuesta a la ecuación de $\int_0^k x^x dx=1$ Y tengo alrededor de 1.19... Pero, ¿Qué es este número k (y podría calcular a más lugares decimales?) Y es construido de $\pi$, $e$, $\gamma$, etc, o es todo un nuevo número?

13voto

Jorrit Reedijk Puntos 129

Utilizando el método de Newton-iteración I calculada esta a unos 200 dígitos mediante Pari/GP con 200 dígitos flotante de precisión. La fórmula se repetirá, digamos, de 10 a 20 veces, va $$ x_{m+1} = x_m - { \int_0^{x_m} t^t dt - 1 \over x_m^{x_m} } \qquad \qquad \text{initializing } x_0=1$$ Esto le da $x_{20} \sim 1.1949070080264606819835589994757229370314006804 \\ \qquad 736144499162269650773566266768950014200599457247 \\ \qquad 787580258584233234409032116176621553214684894972 \\ \qquad 73271827683782385863978986910763464541103507567 ... $

where further iterations don't affect the shown decimals.


[update]

Perhaps it is of interest to find the number $k$ where the integral does not equal $1$ but $k$ a sí mismo en su lugar. Tenemos para $$ \int_0^k x^x dx = k \qquad \qquad \a \qquad k \sim 1.54431721079037838813184037292... $$ [/update]


El pari/GP código utilizado fue

m=1  \\ initialize 
     \\ iterate the next two commands until err is sufficiently small
err=(intnum(t=1e-160,m,t^t)-1)/(m^m)
m=precision(m-err,200)

5voto

vadim123 Puntos 54128

Wolfram Alpha piensa que $k=1.19491$ exactamente. Estoy seguro de que es sólo un redondeo artefacto, pero divertido, sin embargo. Este fue encontrado en unos 5 minutos a través de interseccion, es decir, intentando $1.2, 1.19, 1.195, \ldots$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X