Acerca de grupo tabla de la multiplicación

Question

En la siguiente tabla de la multiplicación fue dado a mí como un ejercicio de clase.

La pregunta

Un grupo tiene cinco elementos $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$, sujeto a la reglas $ab=d$, $ca=e$ y $dc=b$. Llene toda la tabla de multiplicación.

$\begin{array}{c|ccccc} \cdot & a & b & c & d & e \\ \hline a & & & & & \\ b & & & & & \\ c & & & & & \\ d & & & & & \\ e & & & & & \end{matriz}$

No estoy tan seguro de cómo resolver esto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Por lo general, estas tablas son interpretados como tomar una $x$ a partir de la columna de la izquierda y un $y$ de la fila superior y poner su producto $xy$ $(x,y)$ posición.

Ya le han dicho que $d$ $(a,b)$ posición, y que $e$ $(c,a)$ posición, y que $b$ $(d,c)$ posición. Dado que los grupos de primer orden son abelian, también se puede concluir lo $ba,cd$$ac$.

Desde $a,b,c,d,e$ probablemente asumió que ser distinto, también se puede decir de estos que el candidato único de la identidad es $e$, y de modo que le permite llenar en la última columna y la última fila rápidamente. En este punto también se aprende que $a$ $c$ son inversos el uno del otro.

El uso de esa relación, se puede deducir de $ab=d$ que $b=cab=cd$, así que otra entrada aparece en la $(c,d)$ posición. Como usted consigue más a lo largo de, usted debería ser capaz de deducir la posición de cada uno.

No se les olvide que usted tiene otra herramienta a su disposición, a saber, que todos los elementos de satisfacer $x^5=e$. Otra cosa es que $a,c$ son emparejadas como inversas, y $e$ es su propia inversa... ¿qué se puede concluir acerca de la $b$$d$? También, muestran que $a^2\in\{b,d\}$: si intenta tanto a ellos, usted debe ver de inmediato que uno sólo es consistente con las relaciones.

Por favor, nos informe con su progreso.

Answer 2

En primer lugar si esta estructura quiere ser un grupo de orden $5$ entonces se supone que para ser abelian cíclico y así. Este hecho le ayuda a tener $$ab=ba=d,~ca=ac=e,~dc=cd=b,$$ If $b$ be our identity so from above $a=d$ which is wrong becuse $a\neq d$. If $a=id$ then $c=e$ which is also wrong. The same is true for $c$ and $d$. So your $e=e_G$ the identity one. $G=\{e,a,b,c,d\}$ is a group so every element powered by $5$ would be $e$, so $$ac=e\to a=c^{-1}\to a^2=c^{-2}=c^3$$ . You can easily fill the blank considering that there is an element, say $c$, which every other element in $g$ can be written as a power of $c$.

Answer 3

Ahora, creo que la respuesta es $\begin{array}{c|ccccc} \cdot & a & b & c & d & e \\ \hline a & b & d & e & c & a \\ b & d & c & a & e & b \\ c & e & a & d & b & c \\ d & c & e & b & a & d \\ e & a & b & c & d & e \end{matriz}$

¿Es esto cierto?