Ejercicio con un dado de 14 caras

Question

Tengo problemas para resolver este problema:

Hay un dado con 14 caras, de las cuales 6 son cuadradas y 8 triangulares. Si la probabilidad de obtener una cara cuadrada es el doble de la probabilidad de obtener una triangular, entonces ¿cuál es la probabilidad de obtener dos caras cuadradas al lanzar el dado dos veces?

Mi respuesta es $\frac49$ (pero ni siquiera está en las alternativas), ya que la probabilidad de obtener un lado cuadrado es $P(S)=2P(T)$ y puedo obtener un cuadrado o un triángulo, entonces la probabilidad de obtener un lado cuadrado es $$\frac{2\cdot P(T)}{3\cdot P(T)}=\frac23$$

La solución que se me demuestra es $\frac9{25}$ pero ni siquiera tiene sentido para mí, porque eso implica que la probabilidad de obtener un tamaño al cuadrado es $\frac35$ . Así que quiero saber si o estoy equivocado, o si la solución es correcta. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Lo crítico es la interpretación de la pregunta. Se lee la pregunta como la probabilidad total de obtener una de las caras cuadradas es el doble de la probabilidad total de obtener una de las caras triangulares, lo que nos dice que la probabilidad de obtener alguna cara cuadrada es $\frac 23$ y su cálculo es correcto. En tu lectura el número de caras cuadradas y triangulares es una información extraña. La lectura prevista es que la probabilidad de obtener una cara cuadrada en particular es el doble de la probabilidad de obtener una cara triangular en particular. Ahora el número de cada tipo de cara importa y la probabilidad de alguna cara cuadrada es $\frac 35$ . Me parece que el problema, tal y como está escrito, es ambiguo en cuanto a su lectura.

Answer 2

Dejemos que $s$ denotan la probabilidad $P(S)$ de obtener un lado cuadrado, y que $t$ denotan la probabilidad de obtener un lado triangular. Suponiendo que todos los lados cuadrados son igualmente probables y que todos los lados triangulares son igualmente probables, tenemos $$6s + 8t = 1 \implies\\ 6(2t) + 8t = 1 \implies\\ t = \frac 1{20}, \quad s = \frac 1{10}$$ Así, la probabilidad global de obtener un lado cuadrado en una tirada del dado es $$6 \cdot s = \frac 3{5}$$ Tal vez pueda partir de ahí.

Answer 3

Hay dos posibilidades para entender la frase:

La probabilidad de obtener una cara cuadrada es el doble de la probabilidad de obtener una triangular

La primera posibilidad es la que has entendido es que la probabilidad de obtener cualquier cuadrado es el doble de obtener cualquier triángulo:
$P(x\in\{S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6\}) = 2\cdot P(x\in\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5,T_6,T_7,T_8\}))$
Esto lleva a su resultado de $\frac{4}{9}$ .

La segunda posibilidad es que la probabilidad de obtener un cuadrado específico sea el doble de la probabilidad de obtener un triángulo específico:
$P(x=S_1) = ... = P(x=S_6) = 2\cdot P(x=T_1)=...= 2\cdot P(x=T_8)$
Con esta base el resultado es $\frac{9}{25}$