Teoría de juegos, pregunta de la Olimpiada

Question

He visto la siguiente pregunta en la olimpíada brasileña de estudiantes de la Universidad, y no pude resolverlo.

Thor y Loki juegan: Thor elige un entero $n_1 \ge 1$, $n_2 \gt n_1$ elige a Loki, Thor elige $n_3 \gt n_2$ y así sucesivamente. Que $X$ ser tal que

$$X = \bigcup_{j\in\mathbb N^*} \left(\left[n_{2j-1},n_{2j}\right) \cap \mathbb Z \right)$$

y $$s= \sum_{n\in X} \frac {1}{n^2}$ $

Thor gana si es racional, y Loki gana si s es irracional. Determinar quién tiene la estrategia ganadora.

Answer 1

Loki debe tener la estrategia ganadora. Primera nota de que $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, lo cual es claramente irracional. Además, tenga en cuenta que cuando Thor elige un número entero se elimina un conjunto de los números racionales a partir de la suma, por lo tanto se reduce el valor más alto posible de la suma. Deje $t_j=\sum_{n_{2j}\leq n\leq n_{2j+1}}\frac{1}{n^2}$ ser la suma de los números que quitó en el paso $j$ (dejando $n_0=1$). Tenga en cuenta que $t_j$ es racional y que $s\leq \frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^m t_j$, donde el lado derecho es irracional.Vamos a denotar $s_j$ como la actual suma en la curva de $j$, de modo que $s_j\to s$$j\to \infty$.

Loki ahora pueden imponer algunas enumeración $q_1, q_2, ...$$\mathbb Q$. En su $m^{th}$, que recoge el primer racional en la lista que está a menos de $\frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^m t_j$ y mayor que $s_{m-1}$. Llame a este racional $q_i$. Tenga en cuenta que si el resto de los números enteros fueron recogidas después de este turno, tendríamos $s=\frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^m t_j$, por lo que Loki puede escoger un número de números enteros tales que a $q_i < s_m <\frac{\pi^2}{6} - \sum_{j=1}^m t_j$.

Continuando de esta manera, Loki puede eliminar todos los posibles número racional como $s$. Por lo tanto $s$ va a ser irracional y Loki va a ganar.

(Espero que esto tiene sentido. Yo no soy capaz de editar el momento).