Kato ' s desigualdad con laplaciano

Question

Que $u \in C^2(\mathbb R^n)$ ser valorado por el complejo. Estoy tratando de demostrar la desigualdad

$$\Delta |u| \geq \Re\left(\frac{\bar u}{u} \Delta u\right),$$

en el sentido distribucional. Traté de calcular ambos lados explícitamente en términos de las partes real e imaginarias de $u$, pero las expresiones que tengo no parecen ser directamente comparables. ¿Hay una prueba sencilla?

Answer 1

No hay casi ciertamente una bella prueba de que generaliza esta desigualdad elíptica operadores y hace uso de algunos de niza, propiedades generales, pero aquí es una primaria de la prueba mediante el cálculo directo: Set $|u| = (u \bar{u})^{1/2}$, y calcular las componentes:

$\begin{align*} \Delta |u| & = \sum_i \frac{1}{2} |u|^{-1} D^2_{x_i}|u| - \frac{1}{4} |u|^{-3} [D_{x_i} |u|]^2 \\ & = \sum_i \frac{1}{2} |u|^{-1} (\bar{u} u_{x_i x_i} + 2 u_{x_i} \bar{u}_{x_i} + u \bar{u}_{x_i x_i}) - \frac{1}{4} |u|^{-3} (u^2 \bar{u}_{x_i}^2 + 2|u|^2 u_{x_i} \bar{u}_{x_i} + \bar{u}^2 u_{x_i}^2 ) \\ & = \frac{1}{2} |u|^{-1} (\bar{u} \Delta u + u \Delta \bar{u}) - \frac{1}{4} |u|^{-3} \sum_i (u \bar{u}_{x_i} - u_{x_i} \bar{u})^2 \end{align*}$

Ahora pretendemos que cada plazo $u \bar{u}_{x_i} - u_{x_i} \bar{u}$ es puramente imaginario. Uno puede comprobar fácilmente (escribir $u = f + ig$ $f,g$ puramente real). Por lo tanto el cuadrado de dicho término es de valor no positivo, por lo que en la desigualdad anterior estamos restando un valor no positivo plazo. Así tenemos

$\begin{align*} \Delta |u| & \geq \frac{1}{2} |u|^{-1} (\bar{u} \Delta u + u \Delta \bar{u}) \\ & = \Re\left[ \frac{\bar{u}}{|u|} \Delta u \right]. \end{align*} $

Edit: Esto difiere de la desigualdad se indicó anteriormente, pero como lo que yo puedo decir, este debe ser de la versión correcta de la desigualdad, porque si $u$ es puramente real, entonces un cálculo directo de $\Delta |u|$ rendimientos

$$\Delta |u| = \frac{u}{|u|} \Delta u$$

mientras que en la desigualdad se dijo, eran verdaderos, entonces para $u$ puramente real, tendríamos $\Delta |u| \geq \Delta u$, lo cual es falso si $u(x) < 0$ pero $\Delta u(x) > 0$.